Identifique o quadrante em que:
and
.
Passo 1
O enunciado pede para identificar o(s) quadrante(s) em que vale simultaneamente
e
.
Informações dadas: e
.
Informações dadas:
Passo 2
Vamos lembrar como funcionam os quadrantes no círculo trigonométrico e os sinais de
e
:
- No primeiro quadrante (ângulos entre
e , isto é, entre e ) temos e . - No segundo quadrante (entre
e , isto é, entre e ) temos e . - No terceiro quadrante (entre
e , isto é, entre e ) temos e . - No quarto quadrante (entre
e , isto é, entre e ) temos e .
Aqui
representa a coordenada
do ponto no círculo unitário e
representa a coordenada
. É bom ter essa imagem mental: quadrante I (x+, y+), II (x-, y+), III (x-, y-), IV (x+, y-).
Passo 3
Agora a relação entre
,
e
: por definição
Isto significa que o sinal de
é o produto dos sinais de
e de
(porque dividir por um número positivo mantém o sinal, e dividir por um número negativo inverte o sinal). Em termos simples:
- se
e têm o mesmo sinal, então ; - se
e têm sinais opostos, então .
Passo 4
Usando as informações do enunciado:
e
. Escrevendo
(multiplicando ambos os lados da definição por
), observamos que estamos multiplicando
(que é negativo) por
(que é positivo). Multiplicar um número negativo por um positivo dá um número negativo. Logo
Portanto
e
.
Passo 5
Comparando com a lista de sinais por quadrante (Passo 2), o único quadrante onde
e
é o quarto quadrante. Em notação de intervalos: ângulos com
ou em graus
Um exemplo concreto:
tem
e
, então está no quadrante correto.
Resposta
Quadrante IV (ângulos entre
e
; entre
e
).