Identifique o quadrante em que:
\cos \theta>0 and \tan \theta<0.

Passo 1

O enunciado pede para identificar o(s) quadrante(s) em que vale simultaneamente \cos\theta>0 e \tan\theta<0.
Informações dadas: \cos\theta>0 e \tan\theta<0.

Passo 2

Vamos lembrar como funcionam os quadrantes no círculo trigonométrico e os sinais de \sin e \cos:
  • No primeiro quadrante (ângulos entre 0^\circ e 90^\circ, isto é, entre 0 e \tfrac{\pi}{2}) temos \sin\theta>0 e \cos\theta>0.
  • No segundo quadrante (entre 90^\circ e 180^\circ, isto é, entre \tfrac{\pi}{2} e \pi) temos \sin\theta>0 e \cos\theta<0.
  • No terceiro quadrante (entre 180^\circ e 270^\circ, isto é, entre \pi e \tfrac{3\pi}{2}) temos \sin\theta<0 e \cos\theta<0.
  • No quarto quadrante (entre 270^\circ e 360^\circ, isto é, entre \tfrac{3\pi}{2} e 2\pi) temos \sin\theta<0 e \cos\theta>0.
Aqui \sin\theta representa a coordenada y do ponto no círculo unitário e \cos\theta representa a coordenada x. É bom ter essa imagem mental: quadrante I (x+, y+), II (x-, y+), III (x-, y-), IV (x+, y-).

Passo 3

Agora a relação entre \tan, \sin e \cos: por definição
\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}.
Isto significa que o sinal de \tan\theta é o produto dos sinais de \sin\theta e de \cos\theta (porque dividir por um número positivo mantém o sinal, e dividir por um número negativo inverte o sinal). Em termos simples:
  • se \sin e \cos têm o mesmo sinal, então \tan>0;
  • se \sin e \cos têm sinais opostos, então \tan<0.

Passo 4

Usando as informações do enunciado: \cos\theta>0 e \tan\theta<0. Escrevendo \sin\theta=\tan\theta\cdot\cos\theta (multiplicando ambos os lados da definição por \cos\theta), observamos que estamos multiplicando \tan\theta (que é negativo) por \cos\theta (que é positivo). Multiplicar um número negativo por um positivo dá um número negativo. Logo
\sin\theta=\tan\theta\cdot\cos\theta<0.
Portanto \sin\theta<0 e \cos\theta>0.

Passo 5

Comparando com a lista de sinais por quadrante (Passo 2), o único quadrante onde \cos\theta>0 e \sin\theta<0 é o quarto quadrante. Em notação de intervalos: ângulos com
\tfrac{3\pi}{2}<\theta<2\pi
ou em graus
270^\circ<\theta<360^\circ.
Um exemplo concreto: \theta=300^\circ tem \cos 300^\circ=\tfrac{1}{2}>0 e \tan 300^\circ=-\sqrt{3}<0, então está no quadrante correto.

Resposta

Quadrante IV (ângulos entre \tfrac{3\pi}{2} e 2\pi; entre 270^\circ e 360^\circ).

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