Identifique o quadrante em que:
\operatorname{sec} \theta<0 and \sin \theta>0.

Passo 1

O enunciado pede: identificar o quadrante em que o ângulo \theta se encontra, sabendo que \operatorname{sec}\theta<0 e \sin\theta>0.
Informações dadas:
  • \operatorname{sec}\theta<0.
  • \sin\theta>0.
A pergunta é: em qual quadrante(s) do quatro quadrantes do círculo unitário essas duas condições são satisfeitas ao mesmo tempo?

Passo 2

Entender o que significa \operatorname{sec}\theta<0.
Definição: \displaystyle \operatorname{sec}\theta=\frac{1}{\cos\theta}.
Logo, a secante tem o mesmo sinal que o cosseno (porque 1 é positivo). Portanto,
\operatorname{sec}\theta<0 \quad\Longrightarrow\quad \cos\theta<0.
Isso transforma a primeira condição em: \cos\theta<0.

Passo 3

Relembrar os sinais de seno e cosseno em cada quadrante (no círculo unitário):
\begin{aligned} \text{Quadrante I:}&\quad \cos\theta>0,\\ \sin\theta>0,\\\ \text{Quadrante II:}&\quad \cos\theta<0,\\ \sin\theta>0,\\\ \text{Quadrante III:}&\quad \cos\theta<0,\\ \sin\theta<0,\\\ \text{Quadrante IV:}&\quad \cos\theta>0,\\ \sin\theta<0. \end{aligned}
Explicação curta: o cosseno é a coordenada x no círculo unitário e o seno é a coordenada y; os sinais mudam conforme o quadrante.

Passo 4

Agora cruzamos as duas condições que precisamos:
  • de \operatorname{sec}\theta<0 deduzimos \cos\theta<0;
  • dado que \sin\theta>0.
Comparando com a lista do passo anterior, o único quadrante onde \cos\theta<0 e \sin\theta>0 simultaneamente é o Quadrante II.

Passo 5

Exemplo concreto para ficar seguro e ver na prática: tome \theta=\displaystyle \frac{2\pi}{3}=120^\circ.
Calculamos:
\cos\!\left(\frac{2\pi}{3}\right)=-\tfrac{1}{2}\quad\Rightarrow\quad \operatorname{sec}\!\left(\frac{2\pi}{3}\right)=\frac{1}{\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)}=-2<0,
\sin\!\left(\frac{2\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}>0.
Portanto \theta=\frac{2\pi}{3} (no Quadrante II) satisfaz as duas condições, confirmando a conclusão.

Resposta

Quadrante II

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