Identifique o quadrante em que:
\cot \theta>0 and \csc \theta<0.

Passo 1

O enunciado pede: identificar o quadrante em que vale simultaneamente \cot\theta>0 e \csc\theta<0.
Informações dadas: \cot\theta>0 e \csc\theta<0.
Objetivo: descobrir em qual(s) quadrante(s) do círculo trigonométrico essas duas desigualdades ocorrem ao mesmo tempo.

Passo 2

Vamos lembrar as definições básicas (isso é importante para traduzir as desigualdades em sinais de seno e cosseno).
Por definição:
\cot\theta=\frac{\cos\theta}{\sin\theta}
e
\csc\theta=\frac{1}{\sin\theta}.
Explicação curta: \csc\theta é o recíproco de \sin\theta; portanto o sinal de \csc\theta é o mesmo do sinal de \sin\theta (recíproco de um número negativo continua negativo, e de um positivo continua positivo). Assim, a desigualdade \csc\theta<0 implica diretamente que \sin\theta<0.

Passo 3

Com base no passo anterior, temos:
\sin\theta<0.
Agora lembramos como os sinais de \sin\theta e \cos\theta se distribuem pelos quadrantes do círculo trigonométrico (resumo prático):
  • Quadrante I: \sin>0,\\ \cos>0.
  • Quadrante II: \sin>0,\\ \cos<0.
  • Quadrante III: \sin<0,\\ \cos<0.
  • Quadrante IV: \sin<0,\\ \cos>0.
Como precisamos de \sin\theta<0, isso restringe \theta aos quadrantes III ou IV.

Passo 4

Agora usemos a outra condição: \cot\theta>0. Como \cot\theta=\dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}, o quociente é positivo quando \cos\theta e \sin\theta têm o mesmo sinal (ambos positivos ou ambos negativos). Já sabemos por \csc\theta<0 que \sin\theta<0. Para que \cot\theta>0 com \sin\theta<0, é necessário que \cos\theta também seja negativo (negativo dividido por negativo dá positivo).

Passo 5

Juntando as duas condições:
  • \sin\theta<0 (exige quadrante III ou IV),
  • \cos\theta<0 (para que \cot>0 quando \sin<0).
O único quadrante onde ambos \sin\theta e \cos\theta são negativos é o quadrante III. Portanto a solução está no quadrante III.

Passo 6

Para ficar bem explícito em termos de intervalo de ângulos no círculo unitário: o terceiro quadrante corresponde ao intervalo
\pi<\theta<\tfrac{3\pi}{2}.
Observação: não incluímos os extremos \theta=\pi ou \theta=\tfrac{3\pi}{2} porque em \theta=\pi e \theta=2\pi o seno é zero e \csc\theta seria indefinido; a desigualdade é estrita ( <0), então permanecemos estritamente dentro do intervalo.

Passo 7

Pra consolidar com um exemplo numérico rápido (para você ver que funciona): escolha \theta=225^\circ, que é \theta=\tfrac{5\pi}{4} (isso está no terceiro quadrante). Sabemos que
\sin\!\left(\tfrac{5\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}<0,
portanto
\csc\!\left(\tfrac{5\pi}{4}\right)=-\sqrt{2}<0.
E
\cot\!\left(\tfrac{5\pi}{4}\right)=\frac{\cos(\tfrac{5\pi}{4})}{\sin(\tfrac{5\pi}{4})}=\frac{-\tfrac{\sqrt{2}}{2}}{-\tfrac{\sqrt{2}}{2}}=1>0.
Confere com as duas condições.

Resposta

Terceiro quadrante, isto é \pi<\theta<\tfrac{3\pi}{2}.

Exercícios relacionados