Identifique o quadrante em que:
and
.
Passo 1
O enunciado pede: identificar o quadrante em que vale simultaneamente
e
.
Informações dadas: e
.
Objetivo: descobrir em qual(s) quadrante(s) do círculo trigonométrico essas duas desigualdades ocorrem ao mesmo tempo.
Informações dadas:
Objetivo: descobrir em qual(s) quadrante(s) do círculo trigonométrico essas duas desigualdades ocorrem ao mesmo tempo.
Passo 2
Vamos lembrar as definições básicas (isso é importante para traduzir as desigualdades em sinais de seno e cosseno).
Por definição:
Por definição:
e
Explicação curta:
é o recíproco de
; portanto o sinal de
é o mesmo do sinal de
(recíproco de um número negativo continua negativo, e de um positivo continua positivo). Assim, a desigualdade
implica diretamente que
.
Passo 3
Com base no passo anterior, temos:
Agora lembramos como os sinais de
e
se distribuem pelos quadrantes do círculo trigonométrico (resumo prático):
- Quadrante I:
. - Quadrante II:
. - Quadrante III:
. - Quadrante IV:
.
Como precisamos de
, isso restringe
aos quadrantes III ou IV.
Passo 4
Agora usemos a outra condição:
. Como
, o quociente é positivo quando
e
têm o mesmo sinal (ambos positivos ou ambos negativos). Já sabemos por
que
. Para que
com
, é necessário que
também seja negativo (negativo dividido por negativo dá positivo).
Passo 5
Juntando as duas condições:
-
(exige quadrante III ou IV), -
(para que quando ).
O único quadrante onde ambos
e
são negativos é o quadrante III. Portanto a solução está no quadrante III.
Passo 6
Para ficar bem explícito em termos de intervalo de ângulos no círculo unitário: o terceiro quadrante corresponde ao intervalo
Observação: não incluímos os extremos
ou
porque em
e
o seno é zero e
seria indefinido; a desigualdade é estrita (
), então permanecemos estritamente dentro do intervalo.
Passo 7
Pra consolidar com um exemplo numérico rápido (para você ver que funciona): escolha
, que é
(isso está no terceiro quadrante). Sabemos que
portanto
E
Confere com as duas condições.
Resposta
Terceiro quadrante, isto é
.