Identifique a quádrica Q: 4 x^2+y^2-(z-1)^2+8 x+4=0 e (se possuir) seus vértices.

Passo 1

O enunciado apresenta a superfície quádruple
4x^2 + y^2 - (z-1)^2 + 8x + 4 = 0
O objetivo é reconhecer de que tipo de quádrupla se trata e, se existir, achar seus vértices. Para isso, vamos completar o quadrado em x e fazer uma translação de variáveis para colocar a equação em forma canônica.

Passo 2

Começamos por completar o quadrado no termo que envolve x. Observe que
4x^2 + 8x = 4l(x^2 + 2xr) = 4l[(x+1)^2 - 1r] = 4(x+1)^2 - 4
Substituindo isso na equação original, obtemos
4(x+1)^2 - 4 ;+; y^2 ;-; (z-1)^2 ;+; 4 ;=; 0 Longrightarrow 4(x+1)^2 + y^2 - (z-1)^2 = 0

Passo 3

Definimos as novas variáveis
u = x + 1, v = y, w = z - 1,
de modo que a equação fica
4u^2 + v^2 - w^2 = 0
Note que não há termo constante nem termos lineares em u,v,w; todos os termos são quadráticos e homogêneos de grau 2.

Passo 4

A equação
4u^2 + v^2 - w^2 = 0
é exatamente a forma canônica de um cone duplo elíptico, pois para cada valor fixo de wneq 0 a seção transversal 4u^2+v^2=w^2 é uma elipse, e o sinal negativo em -w^2 indica que a superfície se abre em duas “nappes” simétricas em torno do plano w=0.

Passo 5

O cone duplo tem um único ponto singular onde todas as geratrizes se encontram: u=v=w=0. Voltando às coordenadas originais, esse vértice é
u=0Rightarrow x+1=0, v=0Rightarrow y=0, w=0Rightarrow z-1=0,
ou seja, o vértice está em ,(x,y,z)=(-1,0,1).

Resposta

A quádrupla Q é um cone duplo elíptico com vértice em (-1,0,1).

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