Identifique a quádrica
e (se possuir) seus vértices.
Passo 1
O enunciado apresenta a superfície quádruple
O objetivo é reconhecer de que tipo de quádrupla se trata e, se existir, achar seus vértices. Para isso, vamos completar o quadrado em
e fazer uma translação de variáveis para colocar a equação em forma canônica.
Passo 2
Começamos por completar o quadrado no termo que envolve
. Observe que
Substituindo isso na equação original, obtemos
Passo 3
Definimos as novas variáveis
de modo que a equação fica
Note que não há termo constante nem termos lineares em
; todos os termos são quadráticos e homogêneos de grau 2.
Passo 4
A equação
é exatamente a forma canônica de um cone duplo elíptico, pois para cada valor fixo de
a seção transversal
é uma elipse, e o sinal negativo em
indica que a superfície se abre em duas “nappes” simétricas em torno do plano
.
Passo 5
O cone duplo tem um único ponto singular onde todas as geratrizes se encontram:
. Voltando às coordenadas originais, esse vértice é
ou seja, o vértice está em
.
Resposta
A quádrupla
é um cone duplo elíptico com vértice em
.