Determinar a transformação linear T: R^3 R^2 tal que T(1,0,0)=(3,0) e T(0,1,0)=(2,2) e T(0,0,1)=(0,-1). Determinar v in R^3 tal que T(v)=(-1,-9).

Passo 1

O enunciado pede para achar a transformação linear
Tcolon R^3toR^2 sabendo as imagens dos vetores da base canônica:
T(1,0,0) = (3,0), T(0,1,0) = (2,2), T(0,0,1) = (0,-1)
Em seguida, devemos encontrar v=(x,y,z)inR^3 tal que
T(x,y,z)=(-1,-9)
O conteúdo envolvido é transformação linear, matrizes e solução de sistemas lineares.

Passo 2

Como é linear, a matriz de na base canônica tem como colunas as imagens de , e . Assim,
e para qualquer vale

Passo 3

Para achar vec v=(x,y,z) tal que T(x,y,z)=(-1,-9), montamos o sistema
3x + 2y = -1, 2y - z = -9

Passo 4

Resolvendo em função de y como parâmetro tinR:
3x = -1 - 2y Rightarrow x = -1 - 2y3,
2y - z = -9 Rightarrow z = 2y + 9
Logo a solução geral é
vec v = l(tfrac-1 - 2t3,;t,;2t + 9r), tinR

Passo 5

Para dar um exemplo com coordenadas inteiras, basta escolher t tal que -1-2t seja múltiplo de 3. Se t=-2, então
x = -1 - 2(-2)3 = -1 + 43 = 1, y = -2, z = 2(-2) + 9 = 5
Verificando:
T(1,-2,5) = l(3cdot1 + 2(-2),;2(-2) - 5r) = (-1,,-9)

Resposta

A transformação é
T(x,y,z) = (3x + 2y,;2y - z),
e um vetor que atende T(vec v)=(-1,-9) é
vec v = (1,,-2,;5)

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