Considere a transformação linear T: R^3 R^3 definida por T(x, y, z)=(-x, x, y-z), determinar uma base para o ker(T) e uma base para Im(T).

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
Tcolon R^3 to R^3, T(x,y,z)=(-x,x,y-z),
e pede uma base para ker(T) e uma base para Im(T).
Para ker(T) vamos resolver a equação homogênea T(x,y,z)=(0,0,0).
Para Im(T) vamos aplicar T nos vetores da base canônica e extrair um conjunto independente.

Passo 2

Resolver ;T(x,y,z)=(0,0,0):
(-x,x,y-z)=(0,0,0)
Da primeira e segunda componentes vem x=0. Da terceira vem y-z=0, ou seja y=z.
Logo
(x,y,z)=(0,y,y)=y,(0,1,1),
e portanto
ker(T)=span(0,1,1)

Passo 3

Calcular as imagens da base canônica:
T(1,0,0)=(-1,1,0), T(0,1,0)=(0,0,1), T(0,0,1)=(0,0,-1)
Concluímos que
Im(T)=span(-1,1,0),(0,0,1),(0,0,-1)

Passo 4

Observamos que (0,0,-1)=-1cdot(0,0,1), logo é redundante. Os vetores (-1,1,0) e (0,0,1) são linearmente independentes e geram toda a imagem.

Resposta

Uma base para ker(T) é (0,1,1).\nUma base para Im(T) é (-1,1,0),(0,0,1).

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