Identifique as quádricas representadas pelas equações
\frac{x^{2}}{3}+\frac{y^{2}}{2}+\frac{z^{2}}{4}=1

Passo 1

O enunciado dá a seguinte equação e pede que a gente identifique a quádricas representadas por ela:
\frac{x^{2}}{3}+\frac{y^{2}}{2}+\frac{z^{2}}{4}=1.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • É uma equação em x,y,z com apenas termos quadráticos e constantes (sem termos lineares ou mistos xy, xz, yz).
  • Os denominadores são 3, 2 e 4.
  • O lado direito é 1.
    A partir daqui vamos analisar passo a passo o que essa equação descreve.

Passo 2

Vamos lembrar o que é a forma canónica de uma quádricas central (explicação didática).
A forma canónica de um elipsoide centrado na origem é
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1,
onde:
  • a, b, c são os semi-eixos (ou semi-dimensões) do elipsoide ao longo dos eixos x, y, z respectivamente;
  • cada termo \frac{x^{2}}{a^{2}} significa que quando y=z=0 obtemos x=\pm a, isto é, o intercepto no eixo x tem comprimento total 2a;
  • se todos os coeficientes dos termos quadráticos forem positivos e o lado direito for positivo, a superfície é fechada (parecida com uma esfera esticada) — isto é uma pista de elipsoide. Vou mostrar isso no caso concreto.

Passo 3

Comparemos a equação dada com a forma canónica acima. Temos
\frac{x^{2}}{3}+\frac{y^{2}}{2}+\frac{z^{2}}{4}=1.
Então fazemos a identificação direta:
a^{2}=3,\qquad b^{2}=2,\qquad c^{2}=4.
Portanto os semi-eixos são
a=\sqrt{3},\qquad b=\sqrt{2},\qquad c=2.
Expliquei como extrair a,b,c: basta igualar o denominador de cada termo ao quadrado do semi-eixo correspondente.

Passo 4

Verificação por interceptos (uma forma concreta de ver que é um elipsoide):
  • Se y=z=0 então \dfrac{x^{2}}{3}=1, logo x=\pm\sqrt{3}. Intercepto em x: \pm\sqrt{3}.
  • Se x=z=0 então \dfrac{y^{2}}{2}=1, logo y=\pm\sqrt{2}. Intercepto em y: \pm\sqrt{2}.
  • Se x=y=0 então \dfrac{z^{2}}{4}=1, logo z=\pm 2. Intercepto em z: \pm 2.
    Esses interceptos confirmam que a superfície é limitada (fechada) e tem semi-eixos conforme calculado no passo anterior.

Passo 5

Comentário sobre centro e orientação (importante para identificar a quádricas na prova):
  • Não há termos lineares em x,y,z (como x, y ou z), portanto o centro da superfície está na origem (0,0,0).
  • Não há termos mistos ( xy, xz, yz), portanto os eixos principais da superfície estão alinhados com os eixos coordenados x,y,z. Em outras palavras, não há rotação da superfície; ela é “esticada” ao longo dos eixos cartesianos.

Passo 6

Outra verificação mais algébrica (matriz quadrática) — para quem gosta de ver de modo formal:
A forma quadrática pode ser escrita como
\begin{pmatrix}x & y & z\end{pmatrix} \begin{pmatrix} \dfrac{1}{3} & 0 & 0\\[4pt] 0 & \dfrac{1}{2} & 0\\[4pt] 0 & 0 & \dfrac{1}{4} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\[2pt] y\\[2pt] z\end{pmatrix}=1.
A matriz é diagonal com entradas positivas \tfrac{1}{3},\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{4}, ou seja, é definida positiva — característica de um elipsoide centrado na origem.]

Passo 7

Resumo didático e mental para a prova (como reconhecer rápido):
  • Se numa equação da forma \dfrac{x^{2}}{A}+\dfrac{y^{2}}{B}+\dfrac{z^{2}}{C}=1 todos os A,B,C>0, então é um elipsoide.
  • Os semi-eixos são \sqrt{A},\sqrt{B},\sqrt{C}.
  • Ausência de termos lineares → centro na origem. Ausência de termos mistos → eixos alinhados com os eixos coordenados.
    Apliquei isso diretamente ao caso dado.

Resposta

Elipsoide centrado na origem com semi-eixos a=\sqrt{3}, b=\sqrt{2} e c=2.

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