a, b, c são os semi-eixos (ou semi-dimensões) do elipsoide ao longo dos eixos x, y, z respectivamente;
cada termo \frac{x^{2}}{a^{2}} significa que quando y=z=0 obtemos x=\pm a, isto é, o intercepto no eixo x tem comprimento total 2a;
se todos os coeficientes dos termos quadráticos forem positivos e o lado direito for positivo, a superfície é fechada (parecida com uma esfera esticada) — isto é uma pista de elipsoide. Vou mostrar isso no caso concreto.
Passo 3
Comparemos a equação dada com a forma canónica acima. Temos
Expliquei como extrair a,b,c: basta igualar o denominador de cada termo ao quadrado do semi-eixo correspondente.
Passo 4
Verificação por interceptos (uma forma concreta de ver que é um elipsoide):
Se y=z=0 então \dfrac{x^{2}}{3}=1, logo x=\pm\sqrt{3}. Intercepto em x: \pm\sqrt{3}.
Se x=z=0 então \dfrac{y^{2}}{2}=1, logo y=\pm\sqrt{2}. Intercepto em y: \pm\sqrt{2}.
Se x=y=0 então \dfrac{z^{2}}{4}=1, logo z=\pm 2. Intercepto em z: \pm 2.
Esses interceptos confirmam que a superfície é limitada (fechada) e tem semi-eixos conforme calculado no passo anterior.
Passo 5
Comentário sobre centro e orientação (importante para identificar a quádricas na prova):
Não há termos lineares em x,y,z (como x, y ou z), portanto o centro da superfície está na origem (0,0,0).
Não há termos mistos (xy, xz, yz), portanto os eixos principais da superfície estão alinhados com os eixos coordenados x,y,z. Em outras palavras, não há rotação da superfície; ela é “esticada” ao longo dos eixos cartesianos.
Passo 6
Outra verificação mais algébrica (matriz quadrática) — para quem gosta de ver de modo formal:
A forma quadrática pode ser escrita como
A matriz é diagonal com entradas positivas \tfrac{1}{3},\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{4}, ou seja, é definida positiva — característica de um elipsoide centrado na origem.]
Passo 7
Resumo didático e mental para a prova (como reconhecer rápido):
Se numa equação da forma \dfrac{x^{2}}{A}+\dfrac{y^{2}}{B}+\dfrac{z^{2}}{C}=1 todos os A,B,C>0, então é um elipsoide.
Os semi-eixos são \sqrt{A},\sqrt{B},\sqrt{C}.
Ausência de termos lineares → centro na origem. Ausência de termos mistos → eixos alinhados com os eixos coordenados.
Apliquei isso diretamente ao caso dado.
Resposta
Elipsoide centrado na origem com semi-eixos a=\sqrt{3}, b=\sqrt{2} e c=2.