Identifique as quádricas representadas pelas equações
\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{4}+\frac{z^{2}}{4}=1

Passo 1

O que o enunciado pede: identificar a(quádricas) representada(s) pela equação fornecida.
Informação dada: a equação
\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{4}+\frac{z^{2}}{4}=1.
Não vamos resolver nada ainda; só listei o que foi dado e o pedido.

Passo 2

Primeira manipulação algébrica simples para ver a forma mais conhecida: multiplico ambos os lados por 4. Isso é permitido porque 4\neq0. Obtenho
x^{2}+y^{2}+z^{2}=4.
Escrevi a equação em uma forma mais direta para comparar com formas padrão.

Passo 3

Lembra da forma padrão de uma esfera em \mathbb{R}^{3}?
(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}=r^{2},
onde (x_{0},y_{0},z_{0}) é o centro e r é o raio. Aqui não há termos lineares (como x, y ou z isolados), apenas quadrados, e todas as variáveis aparecem com coeficientes iguais e positivos. Isso indica que o centro está na origem (0,0,0) e a forma é perfeitamente simétrica em todas as direções — característica de uma esfera.

Passo 4

Comparando \;x^{2}+y^{2}+z^{2}=4\; com a forma padrão de esfera, temos r^{2}=4. Portanto o raio é
r=\sqrt{4}=2.
Também posso ver a mesma coisa escrevendo a equação original como um elipsoide padrão:
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1,
onde aqui a^{2}=b^{2}=c^{2}=4, ou seja a=b=c=2. Quando os três semieixos são iguais, o elipsoide é exatamente uma esfera.

Passo 5

Para fixar a intuição: alguns pontos que pertencem à superfície são (2,0,0), (0,2,0), (0,0,2) e (0,0,-2). Se eu substituir qualquer um deles em x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 a igualdade se mantém, confirmando que estão sobre a superfície. Uma parametrização conveniente (coordenadas esféricas) é
x=2\sin\varphi\cos\theta,\qquad y=2\sin\varphi\sin\theta,\qquad z=2\cos\varphi,
com 0\le\varphi\le\pi e 0\le\theta<2\pi.

Resposta

Esfera de raio 2 centrada na origem (0,0,0).
Também pode ser vista como um elipsoide com semieixos a=b=c=2.

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