Verifique a dependência linear do conjunto de vetores
\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}

Passo 1

O enunciado pede para verificar a dependência linear do conjunto de vetores \{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}.
Informações dadas: temos três vetores em coordenadas na forma (x,y,z):
\,(1,0,0), \,(0,1,0) e \,(0,0,1).
A pergunta é: esses vetores são linearmente dependentes ou linearmente independentes?

Passo 2

Vamos lembrar o que significa “verificar dependência linear” de forma bem direta.
Definição (em palavras simples): os vetores v_1,v_2,\dots,v_k são linearmente dependentes se existir uma combinação linear não trivial (isto é, com pelo menos um coeficiente diferente de zero) que dê o vetor zero. Caso contrário, são linearmente independentes.
Em símbolos, procuramos escalares \alpha,\beta,\gamma tais que
\alpha v_1+\beta v_2+\gamma v_3 = (0,0,0),
e se a única solução for \alpha=\beta=\gamma=0 dizemos que o conjunto é linearmente independente. Se existir solução com algum coeficiente não nulo, é dependente. Vou aplicar exatamente isso.

Passo 3

Escrevo a combinação linear dos nossos vetores igual a zero. Tomando v_1=(1,0,0), v_2=(0,1,0), v_3=(0,0,1), temos:
\alpha(1,0,0)+\beta(0,1,0)+\gamma(0,0,1)=(0,0,0),
onde \alpha,\beta,\gamma são números reais desconhecidos que vamos determinar.

Passo 4

Faço a soma componente a componente (isso significa somar as primeiras componentes, depois as segundas, depois as terceiras). A soma dá:
(\alpha,\,\beta,\,\gamma) = (0,0,0).
Isto gera o sistema de equações:
\alpha = 0,
\beta = 0,
\gamma = 0.

Passo 5

Do sistema do Passo 4 vemos que a única solução possível é
\alpha=0,\quad \beta=0,\quad \gamma=0.
Como a única combinação linear que produz o vetor zero é a combinação trivial (todos os coeficientes nulos), concluímos que o conjunto não é dependente — ou seja, é linearmente independente.

Passo 6

Um pouco de intuição pra fixar: cada vetor tem um único 1 em posições diferentes e zeros nas outras posições. Isso impede que um deles seja combinação dos outros: por exemplo, nenhum dos vetores tem componente não nula na primeira coordenada exceto (1,0,0), então nenhum múltiplo ou soma dos outros pode “criar” essa componente 1 isoladamente. Por isso eles ficam “independentes” entre si. Força aí — esse é um exemplo clássico e importante na prova.

Passo 7

Para concluir com outro olhar (opcional): se você formar uma matriz com esses vetores como colunas,
A=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1\end{pmatrix},
essa matriz é a identidade 3\times3, que é invertível (determinante igual a 1). Colunas de uma matriz invertível são sempre linearmente independentes, confirmando a mesma conclusão.]

Resposta

O conjunto \{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\} é linearmente independente.

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