Identifique, raciocinando por absurdo, se as seguintes fórmulas são válidas ou inválidas:
PS.: as fórmulas inválidas devem ser associadas a uma estrutura que as falsifique.
\forall \mathrm{x}(\mathrm{Ax} \rightarrow \mathrm{Bx}) \rightarrow(\forall \mathrm{xAx} \rightarrow \forall \mathrm{xBx})

Passo 1

O enunciado pede para verificar, por absurdo, se a fórmula
\forall x\bigl(A(x)\to B(x)\bigr)\;\to\;\bigl(\forall x\,A(x)\to \forall x\,B(x)\bigr)
é válida ou não. O conteúdo é da lógica de predicados de primeira ordem e usaremos prova por contradição: assumimos que ela é falsificável em alguma estrutura e mostramos que isso leva a contradição.

Passo 2

Suponha, por absurdo, que exista uma estrutura \mathcal{M} em que a fórmula seja falsa. Seja
\varphi\equiv \forall x\bigl(A(x)\to B(x)\bigr) \quad\text{e}\quad \psi\equiv \forall x\,A(x)\to \forall x\,B(x).
Para \varphi\to\psi falhar em \mathcal{M}, é necessário que
  1. \mathcal{M}\models\varphi e
  2. \mathcal{M}\not\models\psi.

Passo 3

Como \mathcal{M}\not\models\psi e \psi é uma implicação, deve valer
\mathcal{M}\models \forall x\,A(x) \quad\text{e}\quad \mathcal{M}\not\models \forall x\,B(x).
Da segunda parte, existe algum elemento a do domínio de \mathcal{M} tal que
\mathcal{M}\not\models B(a).

Passo 4

Por outro lado, \mathcal{M}\models \varphi diz que para todo d no domínio de \mathcal{M}, se \mathcal{M}\models A(d) então \mathcal{M}\models B(d). Em particular, tomando d=a, como \mathcal{M}\models \forall x\,A(x) garante \mathcal{M}\models A(a), temos
\mathcal{M}\models B(a).

Passo 5

Chegamos, assim, à contradição: ao mesmo tempo \mathcal{M}\not\models B(a) e \mathcal{M}\models B(a). Logo, não pode haver estrutura que falsifique a fórmula.

Resposta

A fórmula é válida.

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