Identifique, raciocinando por absurdo, se as seguintes fórmulas são válidas ou inválidas:
PS.: as fórmulas inválidas devem ser associadas a uma estrutura que as falsifique.
Passo 1
O enunciado pede para verificar, por absurdo, se a fórmula
é válida ou não. O conteúdo é da lógica de predicados de primeira ordem e usaremos prova por contradição: assumimos que ela é falsificável em alguma estrutura e mostramos que isso leva a contradição.
Passo 2
Suponha, por absurdo, que exista uma estrutura
em que a fórmula seja falsa. Seja
Para
falhar em
, é necessário que
-
e -
.
Passo 3
Como
e
é uma implicação, deve valer
Da segunda parte, existe algum elemento
do domínio de
tal que
Passo 4
Por outro lado,
diz que para todo
no domínio de
, se
então
. Em particular, tomando
, como
garante
, temos
Passo 5
Chegamos, assim, à contradição: ao mesmo tempo
e
. Logo, não pode haver estrutura que falsifique a fórmula.
Resposta
A fórmula é válida.