Identifique, raciocinando por absurdo, se as seguintes fórmulas são válidas ou inválidas:
PS.: as fórmulas inválidas devem ser associadas a uma estrutura que as falsifique.
\left(\exists x P x^{\wedge} \exists x Q x\right) \rightarrow \exists x\left(P x^{\wedge} Q x\right)

Passo 1

Vamos analisar a fórmula
\bigl(\exists x\,P(x)\wedge \exists x\,Q(x)\bigr)\;\rightarrow\;\exists x\bigl(P(x)\wedge Q(x)\bigr)
O que ela afirma é: “se existe algum elemento que satisfaz P e existe (talvez outro) que satisfaz Q, então existe um único elemento que satisfaz simultaneamente P e Q”. Queremos saber se isso vale em toda estrutura (validade).

Passo 2

Por absurdo, suponha que a fórmula seja válida, ou seja, verdadeira em toda interpretação. Então não podemos encontrar nenhuma estrutura em que a implicação seja falsa. Vamos mostrar que isso leva a contradição, exibindo uma estrutura que a falsifica.

Passo 3

Considere a estrutura \mathcal{M}=(D,I) definida por D=\{a,b\}, I(P)=\{a\} (ou seja, P(a) é verdadeira e P(b) é falsa), I(Q)=\{b\} (ou seja, Q(b) é verdadeira e Q(a) é falsa).

Passo 4

Avaliamo-nos o antecedente \exists x\,P(x)\wedge \exists x\,Q(x) em \mathcal{M}: \exists x\,P(x) é verdadeira porque P(a) vale; \exists x\,Q(x) é verdadeira porque Q(b) vale.
Logo o antecedente é verdadeiro em \mathcal{M}.

Passo 5

Agora o consequente \exists x\bigl(P(x)\wedge Q(x)\bigr) em \mathcal{M}:
não há nenhum x\in\{a,b\} que faça P(x) e Q(x) simultaneamente verdadeiras (pois P só vale em a e Q só vale em b).
Logo o consequente é falso em \mathcal{M}.

Passo 6

Em \mathcal{M} o antecedente é verdadeiro e o consequente é falso, então a implicação inteira é falsa. Isso contradiz a suposição de validade (que exigiria verdade em todas as estruturas). Portanto a fórmula é inválida.

Resposta

A fórmula é inválida. Uma estrutura que a falsifica é D=\{a,b\}, P(a) verdadeira, P(b) falsa, Q(a) falsa, Q(b) verdadeira.

Exercícios relacionados