Identifique, raciocinando por absurdo, se as seguintes fórmulas são válidas ou inválidas:
PS.: as fórmulas inválidas devem ser associadas a uma estrutura que as falsifique.
Passo 1
Vamos analisar a fórmula
O que ela afirma é: “se existe algum elemento que satisfaz
e existe (talvez outro) que satisfaz
, então existe um único elemento que satisfaz simultaneamente
e
”. Queremos saber se isso vale em toda estrutura (validade).
Passo 2
Por absurdo, suponha que a fórmula seja válida, ou seja, verdadeira em toda interpretação. Então não podemos encontrar nenhuma estrutura em que a implicação seja falsa. Vamos mostrar que isso leva a contradição, exibindo uma estrutura que a falsifica.
Passo 3
Considere a estrutura
definida por
,
(ou seja,
é verdadeira e
é falsa),
(ou seja,
é verdadeira e
é falsa).
Passo 4
Avaliamo-nos o antecedente
em
:
é verdadeira porque
vale;
é verdadeira porque
vale.
Logo o antecedente é verdadeiro em .
Logo o antecedente é verdadeiro em
Passo 5
Agora o consequente
em
:
não há nenhum que faça
e
simultaneamente verdadeiras (pois
só vale em
e
só vale em
).
Logo o consequente é falso em .
não há nenhum
Logo o consequente é falso em
Passo 6
Em
o antecedente é verdadeiro e o consequente é falso, então a implicação inteira é falsa. Isso contradiz a suposição de validade (que exigiria verdade em todas as estruturas). Portanto a fórmula é inválida.
Resposta
A fórmula é inválida. Uma estrutura que a falsifica é
,
verdadeira,
falsa,
falsa,
verdadeira.