Identifique, raciocinando por absurdo, se as seguintes fórmulas são válidas ou inválidas:
PS.: as fórmulas inválidas devem ser associadas a uma estrutura que as falsifique.
\forall x(A x \vee B x) \rightarrow(\forall x A x \vee \forall x B x)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a fórmula
\forall x\bigl(A(x)\lor B(x)\bigr)\;\to\;\bigl(\forall x\,A(x)\lor \forall x\,B(x)\bigr)
é válida (ou seja, verdadeira em toda interpretação). Se ela for inválida, precisamos apresentar uma estrutura em que essa implicação falhe.

Passo 2

Lembrando que, em lógica de predicados, a validade exige que para toda interpretação a fórmula seja verdadeira. Para refutar a validade, basta encontrar uma interpretação em que o antecedente seja verdadeiro e o consequente seja falso, tornando a implicação global falsa.

Passo 3

Considere a seguinte estrutura \mathcal{M}:
\text{Dom}(\mathcal{M}) = \{d_1,d_2\}, \quad A^{\mathcal{M}} = \{d_1\}, \quad B^{\mathcal{M}} = \{d_2\}.
Em \mathcal{M}, para cada x\in\{d_1,d_2\} vale
A(x)\lor B(x),
pois em d_1 vale A e em d_2 vale B. Logo
\mathcal{M}\models \forall x\bigl(A(x)\lor B(x)\bigr).
Por outro lado, \forall x\,A(x) é falso (já que em d_2 não vale A)
e \forall x\,B(x) é falso (pois em d_1 não vale B).
Assim
\mathcal{M}\not\models \forall x\,A(x)\lor \forall x\,B(x).

Passo 4

Na estrutura \mathcal{M} o antecedente da implicação é verdadeiro e o consequente é falso, logo
\mathcal{M}\not\models \forall x\bigl(A(x)\lor B(x)\bigr)\;\to\;\bigl(\forall x\,A(x)\lor \forall x\,B(x)\bigr).
Isso mostra que a fórmula não é válida em todas as interpretações.

Resposta

A fórmula é inválida. Um contraexemplo é a estrutura \mathcal{M} com \text{Dom}(\mathcal{M})=\{d_1,d_2\}, A^{\mathcal{M}}=\{d_1\} e B^{\mathcal{M}}=\{d_2\}.

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