Identifique os seguintes subconjuntos do plano e, no caso de ser uma elipse, determine as coordenadas do centro, vértices e focos:
.
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede que eu identifique quale subconjunto do plano ela descreve. Se for uma elipse, também devo determinar as coordenadas do centro, os vértices e os focos.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Coeficiente de
é (positivo). - Coeficiente de
é (positivo). - Termos lineares:
e . - Termo constante:
.
Passo 2
Vou agrupar as parcelas em
e em
e fatorar os coeficientes das parcelas quadráticas para preparar a técnica do completar o quadrado:
Explicando por que fiz isso: ao completar o quadrado é mais fácil trabalhar com expressões do tipo
, então extraí os fatores
e
que multiplicam os quadrados.
Passo 3
Agora completo o quadrado em cada uma das expressões entre parênteses. Lembre que completar o quadrado usa a identidade
ou, no caso
,
.
Aplicando isso em e em
:
Aplicando isso em
Substituindo na expressão factorizada:
Passo 4
Distribuo os fatores nos termos constantes para somar tudo:
Calculo os termos constantes:
. Assim a equação fica
Isolando os termos quadráticos:
Passo 5
Interpretação e conclusão: o lado esquerdo
é uma soma de termos não-negativos (pois quadrados são
e
), logo
para todo
. Mas a equação exige que essa soma seja igual a
, um número negativo. Isso é impossível no conjunto dos números reais. Portanto não existe
que satisfaça a equação.
Passo 6
Conclusão final e comentário didático: o conjunto definido é o conjunto vazio. Apesar de a forma algébrica lembrar a forma de uma elipse deslocada (pois temos coeficientes positivos nas quadráticas e termos lineares que originariam um centro em
se o lado direito fosse positivo), o termo constante faz com que a igualdade seja impossível em
. Assim não há elipse real associada (não há centro, vértices nem focos reais).
Resposta
O conjunto é vazio:
.
Não existem centro, vértices nem focos (não é uma elipse no conjunto dos pontos reais).
Não existem centro, vértices nem focos (não é uma elipse no conjunto dos pontos reais).