Identifique os seguintes subconjuntos do plano e, no caso de ser uma elipse, determine as coordenadas do centro, vértices e focos:
\mathcal{D}=\left\{(x, y) \mid 4 x^{2}-8 x+9 y^{2}-36 y+44=0\right\}.

Passo 1

O enunciado dá a equação
4x^{2}-8x+9y^{2}-36y+44=0
e pede que eu identifique quale subconjunto do plano ela descreve. Se for uma elipse, também devo determinar as coordenadas do centro, os vértices e os focos.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Coeficiente de x^{2} é 4 (positivo).
  • Coeficiente de y^{2} é 9 (positivo).
  • Termos lineares: -8x e -36y.
  • Termo constante: 44.

Passo 2

Vou agrupar as parcelas em x e em y e fatorar os coeficientes das parcelas quadráticas para preparar a técnica do completar o quadrado:
4x^{2}-8x+9y^{2}-36y+44 =4\bigl(x^{2}-2x\bigr)+9\bigl(y^{2}-4y\bigr)+44.
Explicando por que fiz isso: ao completar o quadrado é mais fácil trabalhar com expressões do tipo x^{2}+bx, então extraí os fatores 4 e 9 que multiplicam os quadrados.

Passo 3

Agora completo o quadrado em cada uma das expressões entre parênteses. Lembre que completar o quadrado usa a identidade
u^{2}+2au=(u+a)^{2}-a^{2},
ou, no caso u=x, x^{2}+bx=(x+\tfrac{b}{2})^{2}-(\tfrac{b}{2})^{2}.
Aplicando isso em x^{2}-2x e em y^{2}-4y:
x^{2}-2x=(x-1)^{2}-1, \qquad y^{2}-4y=(y-2)^{2}-4.
Substituindo na expressão factorizada:
4\bigl((x-1)^{2}-1\bigr)+9\bigl((y-2)^{2}-4\bigr)+44=0.

Passo 4

Distribuo os fatores nos termos constantes para somar tudo:
4(x-1)^{2}-4+9(y-2)^{2}-36+44=0.
Calculo os termos constantes: -4-36+44=4. Assim a equação fica
4(x-1)^{2}+9(y-2)^{2}+4=0.
Isolando os termos quadráticos:
4(x-1)^{2}+9(y-2)^{2}=-4.

Passo 5

Interpretação e conclusão: o lado esquerdo \,4(x-1)^{2}+9(y-2)^{2}\, é uma soma de termos não-negativos (pois quadrados são \ge 0 e 4,9>0), logo 4(x-1)^{2}+9(y-2)^{2}\ge 0 para todo (x,y)\in\mathbb{R}^{2}. Mas a equação exige que essa soma seja igual a -4, um número negativo. Isso é impossível no conjunto dos números reais. Portanto não existe (x,y)\in\mathbb{R}^{2} que satisfaça a equação.

Passo 6

Conclusão final e comentário didático: o conjunto definido é o conjunto vazio. Apesar de a forma algébrica lembrar a forma de uma elipse deslocada (pois temos coeficientes positivos nas quadráticas e termos lineares que originariam um centro em (1,2) se o lado direito fosse positivo), o termo constante faz com que a igualdade seja impossível em \mathbb{R}^{2}. Assim não há elipse real associada (não há centro, vértices nem focos reais).

Resposta

O conjunto é vazio: \varnothing.
Não existem centro, vértices nem focos (não é uma elipse no conjunto dos pontos reais).

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