Sejam \mathcal{E}=\left\{(a, b) \mid(a, b)\right. é ponto interior à elipse \left.4 x^{2}+9 y^{2}=36\right\} e \mathcal{E}^{\prime}=\left\{(a, b) \mid(a, b)\right. é ponto exterior à elipse \left.9 x^{2}+y^{2}=9\right\}. Dados os pontos A_{1}=\left(2,-\frac{1}{2}\right), A_{2}=(-1,2), A_{3}=\left(-\frac{3}{2},-\frac{1}{2}\right), A_{4}=(-2,3), A_{5}=\left(\frac{1}{2},-\frac{3}{2}\right), A_{6}=\left(\frac{2}{3},-\frac{2}{3}\right), A_{7}=\left(\frac{4 \sqrt{2}}{3}, 3 \sqrt{2}\right) e A_{8}=\left(-\frac{5}{6},-\frac{7}{6}\right) determine:
(a) Quais pertencem a \mathcal{E}.
(b) Quais pertencem a \mathcal{E}^{\prime}.
(c) Quais pertencem a \mathcal{E} \cup \mathcal{E}^{\prime}.
(d) Quais pertencem a \mathcal{E} \cap \mathcal{E}^{\prime}.

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas sobre os pontos A_1,\dots,A_8:
(a) identificar quais pertencem a \mathcal{E}=\{(a,b)\mid (a,b) é ponto interior à elipse 4x^{2}+9y^{2}=36\};
(b) identificar quais pertencem a \mathcal{E}^{\prime}=\{(a,b)\mid (a,b) é ponto exterior à elipse 9x^{2}+y^{2}=9\};
(c) identificar quais pertencem a \mathcal{E}\cup\mathcal{E}^{\prime};
(d) identificar quais pertencem a \mathcal{E}\cap\mathcal{E}^{\prime}.
Os pontos fornecidos são
\begin{aligned} &A_{1}=\left(2,-\frac{1}{2}\right),\quad A_{2}=(-1,2),\quad A_{3}=\left(-\frac{3}{2},-\frac{1}{2}\right),\\\ &A_{4}=(-2,3),\quad A_{5}=\left(\frac{1}{2},-\frac{3}{2}\right),\quad A_{6}=\left(\frac{2}{3},-\frac{2}{3}\right),\\\ &A_{7}=\left(\frac{4\sqrt{2}}{3},\,3\sqrt{2}\right),\quad A_{8}=\left(-\frac{5}{6},-\frac{7}{6}\right). \end{aligned}

Passo 2

Como testar pertença:
  • Um ponto (x,y) é interior à elipse 4x^{2}+9y^{2}=36 exatamente quando
4x^{2}+9y^{2}<36.
(Se fosse igual a 36 estaria na fronteira; aqui queremos estritamente interior.)
  • Um ponto (x,y) é exterior à elipse 9x^{2}+y^{2}=9 exatamente quando
9x^{2}+y^{2}>9.
(Se fosse igual a 9 estaria na fronteira; aqui queremos estritamente exterior.)
Uma forma útil (opcional) de ver isso é colocar as equações na forma padrão dividindo: \dfrac{x^{2}}{9}+\dfrac{y^{2}}{4}=1 para a primeira elipse e \dfrac{x^{2}}{1}+\dfrac{y^{2}}{9}=1 para a segunda; interior significa soma <1 na primeira e exterior significa soma >1 na segunda. Mas aqui usaremos diretamente as desigualdades com as expressões originais.
Agora vamos avaliar cada ponto, calculando 4x^{2}+9y^{2} e 9x^{2}+y^{2} e comparando com 36 e 9, respectivamente.

Passo 3

Para A_{1}=\left(2,-\tfrac{1}{2}\right):
4x^{2}+9y^{2}=4\cdot 2^{2}+9\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right)^{2}=4\cdot4+9\cdot\tfrac{1}{4}=16+\tfrac{9}{4}=\tfrac{64+9}{4}=\tfrac{73}{4}=18{,}25<36.
Logo A_{1}\in\mathcal{E}.
Também
9x^{2}+y^{2}=9\cdot 2^{2}+\left(-\tfrac{1}{2}\right)^{2}=9\cdot4+\tfrac{1}{4}=36+\tfrac{1}{4}=36{,}25>9,
logo A_{1}\in\mathcal{E}^{\prime}.

Passo 4

Para A_{2}=(-1,2):
4x^{2}+9y^{2}=4\cdot(-1)^{2}+9\cdot 2^{2}=4+36=40>36,
portanto A_{2}\notin\mathcal{E}.
E
9x^{2}+y^{2}=9\cdot(-1)^{2}+2^{2}=9+4=13>9,
portanto A_{2}\in\mathcal{E}^{\prime}.

Passo 5

Para A_{3}=\left(-\tfrac{3}{2},-\tfrac{1}{2}\right):
4x^{2}+9y^{2}=4\cdot\left(\tfrac{3}{2}\right)^{2}+9\cdot\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2} =4\cdot\tfrac{9}{4}+9\cdot\tfrac{1}{4}=9+\tfrac{9}{4}=\tfrac{36+9}{4}=\tfrac{45}{4}=11{,}25<36,
logo A_{3}\in\mathcal{E}.
E
9x^{2}+y^{2}=9\cdot\left(\tfrac{3}{2}\right)^{2}+\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2} =9\cdot\tfrac{9}{4}+\tfrac{1}{4}=\tfrac{81}{4}+\tfrac{1}{4}=\tfrac{82}{4}=20{,}5>9,
logo A_{3}\in\mathcal{E}^{\prime}.

Passo 6

Para A_{4}=(-2,3):
4x^{2}+9y^{2}=4\cdot(-2)^{2}+9\cdot 3^{2}=4\cdot4+9\cdot9=16+81=97>36,
logo A_{4}\notin\mathcal{E}.
E
9x^{2}+y^{2}=9\cdot(-2)^{2}+3^{2}=9\cdot4+9=36+9=45>9,
logo A_{4}\in\mathcal{E}^{\prime}.

Passo 7

Para A_{5}=\left(\tfrac{1}{2},-\tfrac{3}{2}\right):
4x^{2}+9y^{2}=4\cdot\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}+9\cdot\left(\tfrac{3}{2}\right)^{2} =4\cdot\tfrac{1}{4}+9\cdot\tfrac{9}{4}=1+\tfrac{81}{4}=\tfrac{4+81}{4}=\tfrac{85}{4}=21{,}25<36,
logo A_{5}\in\mathcal{E}.
E
9x^{2}+y^{2}=9\cdot\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}+\left(-\tfrac{3}{2}\right)^{2} =9\cdot\tfrac{1}{4}+\tfrac{9}{4}=\tfrac{9}{4}+\tfrac{9}{4}=\tfrac{18}{4}=4{,}5<9,
logo A_{5}\notin\mathcal{E}^{\prime}.

Passo 8

Para A_{6}=\left(\tfrac{2}{3},-\tfrac{2}{3}\right):
4x^{2}+9y^{2}=4\cdot\left(\tfrac{2}{3}\right)^{2}+9\cdot\left(\tfrac{2}{3}\right)^{2} =\left(4+9\right)\cdot\left(\tfrac{4}{9}\right)=13\cdot\tfrac{4}{9}=\tfrac{52}{9}\approx5{,}777\;<36,
logo A_{6}\in\mathcal{E}.
E
9x^{2}+y^{2}=9\cdot\left(\tfrac{2}{3}\right)^{2}+\left(\tfrac{2}{3}\right)^{2} =\left(9+1\right)\cdot\left(\tfrac{4}{9}\right)=10\cdot\tfrac{4}{9}=\tfrac{40}{9}\approx4{,}444\;<9,
logo A_{6}\notin\mathcal{E}^{\prime}.

Passo 9

Para A_{7}=\left(\tfrac{4\sqrt{2}}{3},\,3\sqrt{2}\right):
calculemos as quadraturas:
x^{2}=\left(\tfrac{4\sqrt{2}}{3}\right)^{2}=\tfrac{16\cdot 2}{9}=\tfrac{32}{9},\qquad y^{2}=(3\sqrt{2})^{2}=9\cdot 2=18.
Então
4x^{2}+9y^{2}=4\cdot\tfrac{32}{9}+9\cdot 18=\tfrac{128}{9}+162=\tfrac{128+1458}{9}=\tfrac{1586}{9}\approx176{,}22>36,
portanto A_{7}\notin\mathcal{E}.
E
9x^{2}+y^{2}=9\cdot\tfrac{32}{9}+18=32+18=50>9,
logo A_{7}\in\mathcal{E}^{\prime}.

Passo 10

Para A_{8}=\left(-\tfrac{5}{6},-\tfrac{7}{6}\right):
x^{2}=\left(\tfrac{5}{6}\right)^{2}=\tfrac{25}{36},\qquad y^{2}=\left(\tfrac{7}{6}\right)^{2}=\tfrac{49}{36}.
Então
4x^{2}+9y^{2}=4\cdot\tfrac{25}{36}+9\cdot\tfrac{49}{36}=\tfrac{100}{36}+\tfrac{441}{36}=\tfrac{541}{36}\approx15{,}03<36,
logo A_{8}\in\mathcal{E}.
E
9x^{2}+y^{2}=9\cdot\tfrac{25}{36}+\tfrac{49}{36}=\tfrac{225}{36}+\tfrac{49}{36}=\tfrac{274}{36}=\tfrac{137}{18}\approx7{,}611<9,
logo A_{8}\notin\mathcal{E}^{\prime}.

Passo 11

Resumo das pertenças ponto a ponto (do que foi calculado):
  • Pertencem a \mathcal{E}: A_{1},A_{3},A_{5},A_{6},A_{8}.
  • Pertencem a \mathcal{E}^{\prime}: A_{1},A_{2},A_{3},A_{4},A_{7}.

Passo 12

Agora as operações de conjuntos:
  • \mathcal{E}\cup\mathcal{E}^{\prime} é a união — todos os pontos que estão em pelo menos um dos conjuntos. Vendo os dois conjuntos acima, todos os A_{1},\dots,A_{8} aparecem em pelo menos um deles. Portanto a união contém os oito pontos.
  • \mathcal{E}\cap\mathcal{E}^{\prime} é a interseção — pontos que estão em ambos. Observando, só A_{1} e A_{3} aparecem em ambos.

Resposta

(a) A_{1},A_{3},A_{5},A_{6},A_{8}
(b) A_{1},A_{2},A_{3},A_{4},A_{7}
(c) A_{1},A_{2},A_{3},A_{4},A_{5},A_{6},A_{7},A_{8}
(d) A_{1},A_{3}

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