Sejam
é ponto interior à elipse
e
é ponto exterior à elipse
. Dados os pontos
,
e
determine:
(a) Quais pertencem a
.
(b) Quais pertencem a
.
(c) Quais pertencem a
.
(d) Quais pertencem a
.
(a) Quais pertencem a
(b) Quais pertencem a
(c) Quais pertencem a
(d) Quais pertencem a
Passo 1
O enunciado pede quatro coisas sobre os pontos
:
(a) identificar quais pertencem a é ponto interior à elipse
;
(b) identificar quais pertencem a é ponto exterior à elipse
;
(c) identificar quais pertencem a ;
(d) identificar quais pertencem a .
(a) identificar quais pertencem a
(b) identificar quais pertencem a
(c) identificar quais pertencem a
(d) identificar quais pertencem a
Os pontos fornecidos são
Passo 2
Como testar pertença:
- Um ponto
é interior à elipse exatamente quando
(Se fosse igual a
estaria na fronteira; aqui queremos estritamente interior.)
- Um ponto
é exterior à elipse exatamente quando
(Se fosse igual a
estaria na fronteira; aqui queremos estritamente exterior.)
Uma forma útil (opcional) de ver isso é colocar as equações na forma padrão dividindo:
para a primeira elipse e
para a segunda; interior significa soma
na primeira e exterior significa soma
na segunda. Mas aqui usaremos diretamente as desigualdades com as expressões originais.
Agora vamos avaliar cada ponto, calculando
e
e comparando com
e
, respectivamente.
Passo 3
Para
:
Logo
.
Também
logo
.
Passo 4
Para
:
portanto
.
E
portanto
.
Passo 5
Para
:
logo
.
E
logo
.
Passo 6
Para
:
logo
.
E
logo
.
Passo 7
Para
:
logo
.
E
logo
.
Passo 8
Para
:
logo
.
E
logo
.
Passo 9
Para
:
calculemos as quadraturas:
calculemos as quadraturas:
Então
portanto
.
E
logo
.
Passo 10
Para
:
Então
logo
.
E
logo
.
Passo 11
Resumo das pertenças ponto a ponto (do que foi calculado):
- Pertencem a
: . - Pertencem a
: .
Passo 12
Agora as operações de conjuntos:
-
é a união — todos os pontos que estão em pelo menos um dos conjuntos. Vendo os dois conjuntos acima, todos os aparecem em pelo menos um deles. Portanto a união contém os oito pontos. -
é a interseção — pontos que estão em ambos. Observando, só e aparecem em ambos.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)