Identifique os seguintes subconjuntos do plano e, no caso de ser uma elipse, determine as coordenadas do centro, vértices e focos:
.
Passo 1
O enunciado pede para identificar o subconjunto do plano definido pela equação e, se for elipse, determinar centro, vértices e focos. Aqui está a equação dada:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A equação é um polinômio quadrático em
e (termos em , , , e constante). - A tarefa é: identificar o tipo de curva e, caso seja elipse, achar centro, vértices e focos.
Passo 2
Primeiro passo algébrico: agrupar termos por variável para completar quadrados. Agrupando:
Vou explicar o que é completar o quadrado: para qualquer expressão
pode escrever como
. Isso transforma um polinômio quadrático em uma forma de quadrado perfeito mais um ajuste constante, o que facilita identificar translações (centro) e coeficientes principais da conica.
Aplicando ao caso de
e
:
- Para
temos , logo . - Para
temos , logo .
Passo 3
Substituindo as identidades na equação original:
Agora distribuir e combinar constantes:
Somando as constantes
, então:
Isolando os termos quadráticos:
Dividindo ambos os lados por
para obter a forma canônica:
Passo 4
Interpretação da forma canônica: uma equação do tipo
com
,
representa uma elipse centrada em
. Se
a semi‑maior
está ao longo do eixo
(elipse “horizontal”); se
a semi‑maior estaria no eixo
.
Comparando com a nossa forma:
-
e , logo o centro é . -
e . Como , temos (semi‑eixo maior, horizontal) e (semi‑eixo menor, vertical).
Vértices: situam‑se ao longo do eixo maior a partir do centro, em
:
(Co‑vértices, se quiser:
e
.)
Passo 5
Cálculo dos focos: para uma elipse com semi‑eixos
(maior) e
(menor), a distância focal
a partir do centro satisfaz
Aqui:
Como o eixo maior é horizontal, os focos ficam em
, isto é:
Passo 6
Conclusão didática curta: a curva dada é uma elipse; encontrar o centro e os semi‑eixos exige completar quadrados para obter a forma canônica
. A partir daí lê‑se imediatamente centro
, semi‑eixos
, vértices em
ou
e focos usando
.
Resposta
É uma elipse.
Centro:
Vértices: e
Focos: e
Centro:
Vértices:
Focos: