Identifique os seguintes subconjuntos do plano e, no caso de ser uma elipse, determine as coordenadas do centro, vértices e focos:
\mathcal{B}=\left\{(x, y) \mid 4 x^{2}-8 x+9 y^{2}-36 y+4=0\right\}.

Passo 1

O enunciado pede para identificar o subconjunto do plano definido pela equação e, se for elipse, determinar centro, vértices e focos. Aqui está a equação dada:
4x^{2}-8x+9y^{2}-36y+4=0.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A equação é um polinômio quadrático em x e y (termos em x^{2}, y^{2}, x, y e constante).
  • A tarefa é: identificar o tipo de curva e, caso seja elipse, achar centro, vértices e focos.

Passo 2

Primeiro passo algébrico: agrupar termos por variável para completar quadrados. Agrupando:
4(x^{2}-2x)+9(y^{2}-4y)+4=0.
Vou explicar o que é completar o quadrado: para qualquer expressão u^{2}-2pu pode escrever como (u-p)^{2}-p^{2}. Isso transforma um polinômio quadrático em uma forma de quadrado perfeito mais um ajuste constante, o que facilita identificar translações (centro) e coeficientes principais da conica.
Aplicando ao caso de x e y:
  • Para x^{2}-2x temos p=1, logo x^{2}-2x=(x-1)^{2}-1.
  • Para y^{2}-4y temos p=2, logo y^{2}-4y=(y-2)^{2}-4.

Passo 3

Substituindo as identidades na equação original:
4\big((x-1)^{2}-1\big)+9\big((y-2)^{2}-4\big)+4=0.
Agora distribuir e combinar constantes:
4(x-1)^{2}-4+9(y-2)^{2}-36+4=0.
Somando as constantes -4-36+4=-36, então:
4(x-1)^{2}+9(y-2)^{2}-36=0.
Isolando os termos quadráticos:
4(x-1)^{2}+9(y-2)^{2}=36.
Dividindo ambos os lados por 36 para obter a forma canônica:
\frac{(x-1)^{2}}{9}+\frac{(y-2)^{2}}{4}=1.

Passo 4

Interpretação da forma canônica: uma equação do tipo
\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1
com a^{2}>0, b^{2}>0 representa uma elipse centrada em (h,k). Se a^{2}\ge b^{2} a semi‑maior a está ao longo do eixo x (elipse “horizontal”); se b^{2}>a^{2} a semi‑maior estaria no eixo y.
Comparando com a nossa forma:
  • h=1 e k=2, logo o centro é (1,2).
  • a^{2}=9 e b^{2}=4. Como 9>4, temos a=\sqrt{9}=3 (semi‑eixo maior, horizontal) e b=\sqrt{4}=2 (semi‑eixo menor, vertical).
Vértices: situam‑se ao longo do eixo maior a partir do centro, em (h\pm a,k):
(h-a,k)=(1-3,2)=(-2,2), \qquad (h+a,k)=(1+3,2)=(4,2).
(Co‑vértices, se quiser: (h,k\pm b)=(1,0) e (1,4).)

Passo 5

Cálculo dos focos: para uma elipse com semi‑eixos a (maior) e b (menor), a distância focal c a partir do centro satisfaz
c^{2}=a^{2}-b^{2}.
Aqui:
c^{2}=9-4=5, \qquad c=\sqrt{5}.
Como o eixo maior é horizontal, os focos ficam em (h\pm c,k), isto é:
\bigl(1-\sqrt{5},\,2\bigr) \qquad\text{e}\qquad \bigl(1+\sqrt{5},\,2\bigr).

Passo 6

Conclusão didática curta: a curva dada é uma elipse; encontrar o centro e os semi‑eixos exige completar quadrados para obter a forma canônica \dfrac{(x-h)^{2}}{a^{2}}+\dfrac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1. A partir daí lê‑se imediatamente centro (h,k), semi‑eixos a,b, vértices em (h\pm a,k) ou (h,k\pm b) e focos usando c^{2}=a^{2}-b^{2}.

Resposta

É uma elipse.
Centro: \,(1,2)
Vértices: \,(-2,2) e (4,2)
Focos: \,\bigl(1-\sqrt{5},\,2\bigr) e \bigl(1+\sqrt{5},\,2\bigr)

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