Identifique a superfície e, quando possível, identifique as seções e os traços solicitados em cada item.
Superfície: 4 z^{2}=-3 y^{2}+x. Traços e seções: y=0, x=0, z=-3 e x=-8.

Passo 1

O enunciado nos dá a superfície cuja equação é 4z^{2}=-3y^{2}+x.
Pede-se: identificar que tipo de superfície é essa e, para cada um dos planos/provas dados, encontrar a interseção (traço/seção) com a superfície nos casos \,y=0, \,x=0, \,z=-3 e \,x=-8.
Informações relevantes extraídas do enunciado: a equação original e as quatro superfícies-planos com que devemos intersectar.

Passo 2

Primeiro vamos simplificar a equação para uma forma mais óbvia. Reorganizando 4z^{2}=-3y^{2}+x somamos 3y^{2} em ambos os lados e obtemos
x=4z^{2}+3y^{2}.
Esta forma é mais fácil de interpretar: x é uma soma de termos quadráticos em y e z.

Passo 3

Como identificar o tipo de superfície a partir da forma \,x=4z^{2}+3y^{2}?
  • Uma superfície quadrática geral pode ser escrita com termos quadráticos em duas variáveis igualados a uma terceira (ou a constante). Quando a coordenada x aparece linearmente isolada no lado esquerdo e no lado direito temos soma de quadrados em y e z com coeficientes positivos, isso indica um paraboloide.
  • Especificamente, a forma \,x = a z^{2} + b y^{2} com a>0 e b>0 define um paraboloide elíptico que se abre no sentido positivo de x. O vértice está onde y=0 e z=0, ou seja em (0,0,0).
    Logo, a superfície é um paraboloide elíptico com eixo ao longo do eixo x (abre para x positivo) e vértice em (0,0,0).
Explicação extra (rápida) sobre seções:
  • Cortes por planos do tipo x=\text{const}>0 dão elipses \,4z^{2}+3y^{2}=\text{const}.
  • Cortes por planos que contêm o eixo x (por exemplo y=0 ou z=0) dão parábolas.

Passo 4

Traço para \,y=0. Substituindo y=0 em x=4z^{2}+3y^{2} obtemos
x=4z^{2}.
Interpretação: na seção do plano y=0 (plano xz) a interseção é a parábola \,x=4z^{2}. Ela tem vértice em (0,0,0) e abre para \,x>0. Geometricamente é a seção parabólica do paraboloide pelo plano que contém o eixo x e o eixo z.

Passo 5

Traço para \,x=0. Substituindo x=0 na equação \,x=4z^{2}+3y^{2} obtemos
0=4z^{2}+3y^{2}.
Somatório de termos quadráticos com coeficientes positivos só pode ser zero se cada termo for zero, logo z=0 e y=0. Portanto a interseção com o plano x=0 é apenas o ponto (0,0,0). Em linguagem geométrica: o plano tangencia o paraboloide exatamente no vértice — a “seção” degenera para um ponto.

Passo 6

Traço para \,z=-3. Substituindo z=-3 em x=4z^{2}+3y^{2} obtemos
x=4\cdot(-3)^{2}+3y^{2}=4\cdot9+3y^{2}=36+3y^{2}.
Interpretação: na seção pelo plano horizontal z=-3 (plano paralelo ao xy), a interseção é a parábola \,x=36+3y^{2} no plano z=-3. O vértice dessa parábola é o ponto (36,0,-3) e ela abre para \,x>36.

Passo 7

Traço para \,x=-8. Substituindo x=-8 em x=4z^{2}+3y^{2} obtemos
-8=4z^{2}+3y^{2}.
O lado direito é soma de termos não-negativos (pois 4z^{2}\ge0 e 3y^{2}\ge0), então não pode ser igual a -8. Portanto não existem pontos reais de interseção: a seção é vazia (nenhuma interseção real). Em termos geométricos, como o paraboloide só tem x\ge0 (na verdade x\ge0 com igualdade só no vértice), qualquer plano vertical com x negativo não corta a superfície.

Resposta

Superfície: paraboloide elíptico com equação \;x=4z^{2}+3y^{2}, vértice em (0,0,0) e eixo ao longo do eixo x (abre para x>0).
y=0: seção \;x=4z^{2} (parábola no plano y=0, vértice em (0,0,0)).
x=0: interseção \;(0,0,0) (ponto).
z=-3: seção \;x=36+3y^{2} (parábola no plano z=-3, vértice em (36,0,-3)).
x=-8: interseção vazia (nenhum ponto real).

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