Identifique a superfície e, quando possível, identifique as seções e os traços solicitados em cada item.
Superfície:
. Traços e seções:
e
.
Superfície:
Passo 1
O enunciado nos dá a superfície cuja equação é
Pede-se: identificar que tipo de superfície é essa e, para cada um dos planos/provas dados, encontrar a interseção (traço/seção) com a superfície nos casos
,
,
e
.
Informações relevantes extraídas do enunciado: a equação original e as quatro superfícies-planos com que devemos intersectar.
Informações relevantes extraídas do enunciado: a equação original e as quatro superfícies-planos com que devemos intersectar.
Passo 2
Primeiro vamos simplificar a equação para uma forma mais óbvia. Reorganizando
somamos
em ambos os lados e obtemos
Esta forma é mais fácil de interpretar:
é uma soma de termos quadráticos em
e
.
Passo 3
Como identificar o tipo de superfície a partir da forma
?
- Uma superfície quadrática geral pode ser escrita com termos quadráticos em duas variáveis igualados a uma terceira (ou a constante). Quando a coordenada
aparece linearmente isolada no lado esquerdo e no lado direito temos soma de quadrados em e com coeficientes positivos, isso indica um paraboloide. - Especificamente, a forma
com e define um paraboloide elíptico que se abre no sentido positivo de . O vértice está onde e , ou seja em .
Logo, a superfície é um paraboloide elíptico com eixo ao longo do eixo(abre para positivo) e vértice em .
Explicação extra (rápida) sobre seções:
- Cortes por planos do tipo
dão elipses . - Cortes por planos que contêm o eixo
(por exemplo ou ) dão parábolas.
Passo 4
Traço para
. Substituindo
em
obtemos
Interpretação: na seção do plano
(plano
) a interseção é a parábola
. Ela tem vértice em
e abre para
. Geometricamente é a seção parabólica do paraboloide pelo plano que contém o eixo
e o eixo
.
Passo 5
Traço para
. Substituindo
na equação
obtemos
Somatório de termos quadráticos com coeficientes positivos só pode ser zero se cada termo for zero, logo
e
. Portanto a interseção com o plano
é apenas o ponto
. Em linguagem geométrica: o plano tangencia o paraboloide exatamente no vértice — a “seção” degenera para um ponto.
Passo 6
Traço para
. Substituindo
em
obtemos
Interpretação: na seção pelo plano horizontal
(plano paralelo ao
), a interseção é a parábola
no plano
. O vértice dessa parábola é o ponto
e ela abre para
.
Passo 7
Traço para
. Substituindo
em
obtemos
O lado direito é soma de termos não-negativos (pois
e
), então não pode ser igual a
. Portanto não existem pontos reais de interseção: a seção é vazia (nenhuma interseção real). Em termos geométricos, como o paraboloide só tem
(na verdade
com igualdade só no vértice), qualquer plano vertical com
negativo não corta a superfície.
Resposta
Superfície: paraboloide elíptico com equação
, vértice em
e eixo ao longo do eixo
(abre para
).
seção
(parábola no plano
, vértice em
).
interseção
(ponto).
seção
(parábola no plano
, vértice em
).
interseção vazia (nenhum ponto real).