Identifique a superfície e, quando possível, identifique as seções e os traços solicitados em cada item.
Superfície: y^{2}=4 z^{2}+3-2 x^{2}. Traços e seções: z=0, y=0, x=2 e y=\sqrt{3}.

Passo 1

O enunciado pede que eu identifique a superfície dada pela equação
y^{2}=4 z^{2}+3-2 x^{2}
e, para as seções/traços indicados, descreva a curva resultante (quando existir): z=0, y=0, x=2 e y=\sqrt{3}.
Informações dadas:
y^{2}=4 z^{2}+3-2 x^{2}.
As interseções pedidas são com os planos z=0, y=0, x=2 e y=\sqrt{3}.

Passo 2

Classificação da superfície (aula curta e prática).
Primeiro reorganizo a equação para ver os termos quadráticos juntos:
y^{2}+2x^{2}-4z^{2}=3.
Regra prática para identificar quadricas: conte os sinais dos coeficientes dos termos quadráticos (aqui: + para y^{2}, + para x^{2}, e - para z^{2}) e compare com o lado direito (positivo). Quando há dois coeficientes positivos e um negativo iguais a uma constante positiva, trata‑se de um hiperboloide de uma folha. Para ver isso em forma padrão divido por 3:
\frac{y^{2}}{3}+\frac{x^{2}}{3/2}-\frac{z^{2}}{3/4}=1.
Interpretação prática:
  • É um hiperboloide de uma folha (superfície conectada) centrado na origem.
  • O sinal negativo está no termo z^{2}, então o eixo do hiperboloide é o eixo z: ao aumentar |z| as seções horizontais (planos paralelos a xy) crescem em tamanho.

Passo 3

Seção/traço com o plano z=0.
Substituo z=0 na equação original:
y^{2}=4\cdot 0^{2}+3-2x^{2}\quad\Rightarrow\quad y^{2}+2x^{2}=3.
Coloco em forma de elipse padrão dividindo por 3:
\frac{y^{2}}{3}+\frac{x^{2}}{3/2}=1.
Interpretação didática:
  • É uma elipse no plano z=0, centrada na origem (0,0,0).
  • Semi-eixo ao longo de y: \sqrt{3}.
  • Semi-eixo ao longo de x: \sqrt{3/2}=\sqrt{1{,}5}.

Passo 4

Seção/traço com o plano y=0.
Substituo y=0 na equação:
0=4z^{2}+3-2x^{2}\quad\Rightarrow\quad 2x^{2}-4z^{2}=3.
Coloco em forma de hipérbole padrão dividindo por 3:
\frac{x^{2}}{3/2}-\frac{z^{2}}{3/4}=1.
Interpretação didática:
  • É uma hipérbole no plano y=0 (plano xz), centrada na origem.
  • Como o termo positivo é x^{2}, as ramas abrem ao longo do eixo x.
  • Parâmetros: a^{2}=3/2, b^{2}=3/4.

Passo 5

Seção/traço com o plano x=2.
Substituo x=2 na equação:
y^{2}=4z^{2}+3-2\cdot 2^{2}=4z^{2}+3-8=4z^{2}-5.
Reescrevo como
4z^{2}-y^{2}=5,
ou em forma padrão
\frac{z^{2}}{5/4}-\frac{y^{2}}{5}=1.
Interpretação didática:
  • É uma hipérbole no plano x=2 (plano paralelo ao plano yz).
  • Aqui o termo positivo é z^{2}, então as ramas abrem ao longo da direção z dentro desse plano.
  • Observação: para z=0 não há pontos (pois -y^{2}=5 é impossível), isto é, a hipérbole não passa por z=0.

Passo 6

Seção/traço com o plano y=\sqrt{3}.
Como y=\sqrt{3} implica y^{2}=3, substituo na equação:
3=4z^{2}+3-2x^{2}\quad\Rightarrow\quad 0=4z^{2}-2x^{2}.
Simplifico:
2x^{2}-4z^{2}=0\quad\Rightarrow\quad x^{2}=2z^{2}.
Fatoremos para ver as retas:
x^{2}-2z^{2}=0\quad\Rightarrow\quad (x-\sqrt{2}\,z)(x+\sqrt{2}\,z)=0.
Interpretação didática:
  • A interseção é degenerada: um par de retas no plano y=\sqrt{3} dadas por
x=\sqrt{2}\,z\quad\text{e}\quad x=-\sqrt{2}\,z.
  • Essas linhas cruzam a origem do sistema de coordenadas local desse plano (isto é, passam pelo ponto (0,\sqrt{3},0) quando vistas em coordenadas tridimensionais).

Passo 7

Observações finais e simetria (ajuda para prova):
  • A superfície é simétrica em relação aos planos coordenados xy, xz e yz (pois só aparecem potências pares das coordenadas).
  • As seções por planos z=\text{constante} são elipses cujo tamanho cresce com |z| (característica do hiperboloide de uma folha com eixo em z).
  • As seções por planos y=\pm\sqrt{3} degeneram em pares de retas (isso ocorre porque nesses planos o termo independente se cancela).

Resposta

Superfície: hiperboloide de uma folha centrado na origem, em forma padrão \dfrac{y^{2}}{3}+\dfrac{x^{2}}{3/2}-\dfrac{z^{2}}{3/4}=1.
z=0: elipse \;y^{2}+2x^{2}=3\; (equivalente a \dfrac{y^{2}}{3}+\dfrac{x^{2}}{3/2}=1), semi-eixos \sqrt{3} (em y) e \sqrt{3/2} (em x).
y=0: hipérbole \;2x^{2}-4z^{2}=3\; (equivalente a \dfrac{x^{2}}{3/2}-\dfrac{z^{2}}{3/4}=1), ramas ao longo do eixo x.
x=2: hipérbole \;4z^{2}-y^{2}=5\; (equivalente a \dfrac{z^{2}}{5/4}-\dfrac{y^{2}}{5}=1), ramas ao longo da direção z no plano x=2.
y=\sqrt{3}: par de retas no plano y=\sqrt{3} dadas por \;x=\sqrt{2}\,z\; e \;x=-\sqrt{2}\,z\;.

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