Identifique a superfície e, quando possível, identifique as seções e os traços solicitados em cada item.
Superfície:
. Traços e seções:
e
.
Superfície:
Passo 1
O enunciado pede que eu identifique a superfície dada pela equação
e, para as seções/traços indicados, descreva a curva resultante (quando existir):
,
,
e
.
Informações dadas:
As interseções pedidas são com os planos
,
,
e
.
Passo 2
Classificação da superfície (aula curta e prática).
Primeiro reorganizo a equação para ver os termos quadráticos juntos:
Primeiro reorganizo a equação para ver os termos quadráticos juntos:
Regra prática para identificar quadricas: conte os sinais dos coeficientes dos termos quadráticos (aqui:
para
,
para
, e
para
) e compare com o lado direito (positivo). Quando há dois coeficientes positivos e um negativo iguais a uma constante positiva, trata‑se de um hiperboloide de uma folha. Para ver isso em forma padrão divido por
:
Interpretação prática:
- É um hiperboloide de uma folha (superfície conectada) centrado na origem.
- O sinal negativo está no termo
, então o eixo do hiperboloide é o eixo : ao aumentar as seções horizontais (planos paralelos a ) crescem em tamanho.
Passo 3
Seção/traço com o plano
.
Substituo na equação original:
Substituo
Coloco em forma de elipse padrão dividindo por
:
Interpretação didática:
- É uma elipse no plano
, centrada na origem . - Semi-eixo ao longo de
: . - Semi-eixo ao longo de
: .
Passo 4
Seção/traço com o plano
.
Substituo na equação:
Substituo
Coloco em forma de hipérbole padrão dividindo por
:
Interpretação didática:
- É uma hipérbole no plano
(plano ), centrada na origem. - Como o termo positivo é
, as ramas abrem ao longo do eixo . - Parâmetros:
, .
Passo 5
Seção/traço com o plano
.
Substituo na equação:
Substituo
Reescrevo como
ou em forma padrão
Interpretação didática:
- É uma hipérbole no plano
(plano paralelo ao plano ). - Aqui o termo positivo é
, então as ramas abrem ao longo da direção dentro desse plano. - Observação: para
não há pontos (pois é impossível), isto é, a hipérbole não passa por .
Passo 6
Seção/traço com o plano
.
Como implica
, substituo na equação:
Como
Simplifico:
Fatoremos para ver as retas:
Interpretação didática:
- A interseção é degenerada: um par de retas no plano
dadas por
- Essas linhas cruzam a origem do sistema de coordenadas local desse plano (isto é, passam pelo ponto
quando vistas em coordenadas tridimensionais).
Passo 7
Observações finais e simetria (ajuda para prova):
- A superfície é simétrica em relação aos planos coordenados
, e (pois só aparecem potências pares das coordenadas). - As seções por planos
são elipses cujo tamanho cresce com (característica do hiperboloide de uma folha com eixo em ). - As seções por planos
degeneram em pares de retas (isso ocorre porque nesses planos o termo independente se cancela).
Resposta
Superfície: hiperboloide de uma folha centrado na origem, em forma padrão
.