Identifique a superfície e, quando possível, identifique as seções e os traços solicitados em cada item.
Superfície:
. Traços e seções:
e
.
Superfície:
Passo 1
O enunciado dá a superfície definida pela equação
e pede que identifiquemos a superfície e, quando possível, identifiquemos as interseções (traços/seções) com os planos
,
,
e
.
Informações dadas:
- Equação da superfície:
. - Planos onde precisamos encontrar interseções:
, , , .
O que precisamos fornecer:
- Identificar que tipo de superfície é a dada por
. - Para cada plano pedido, substituir na equação e descrever a curva resultante (equação e classificação: ponto, reta, par de retas, elipse, hipérbole, etc.).
Passo 2
Vamos primeiro manipular a equação para ver a forma geométrica global. Partimos de
Trago todos os termos para um lado:
Multiplico por
para ficar mais claro o sinal principal:
Esta é uma forma homogênea quadrática (todas as monômios são de grau 2 e não há termo constante). Quando uma equação quadrática homogênea tem o lado direito igual a zero, ela representa um cone com vértice na origem (porque se
é solução então
também é solução para qualquer
). Portanto já indicamos que a superfície é um cone duplo (passa pela origem e se estende em duas “nappes”).
Passo 3
Agora vamos identificar o tipo mais preciso do cone. Reescrevendo como
vemos que para cada plano
com
a interseção é a curva
ou seja, uma elipse (porque soma de termos quadráticos positivos = constante positiva). Portanto o cone tem secções transversais elípticas: é um cone elíptico. Como as seções perpendiculares ao eixo estão em planos
const, o eixo do cone é o eixo
. O vértice está em
.
Resumo (já identificado): a superfície é um cone duplo elíptico com vértice em
e eixo ao longo do eixo
.
Passo 4
Interseção com o plano
.
Substituo
na equação original:
Passo tudo para um lado:
Os termos
e
são não-negativos. A soma deles só pode ser zero se ambos forem zero. Logo
e
. Portanto a interseção é apenas o ponto
.
Passo 5
Interseção com o plano
.
Substituo
na equação:
Reescrevo:
Fatorando:
Isto representa a união de duas retas no plano
:
e
. Em outras palavras, a interseção é um par de retas concorrentes na origem (um “X”) contido no plano
.
Passo 6
Seção com o plano
.
Substituo
na equação:
Passo os termos para um lado:
Dividindo ambos os lados por
para colocar em forma padrão:
Isto é a equação de uma hipérbole no plano
(uma vez que um quadrado tem coeficiente positivo e o outro negativo e a constante do lado direito é positiva). Podemos também notar que as assíntotas são dadas por
, ou
.
Passo 7
Seção com o plano
.
Substituo
(observe que
) na equação:
Reescrevendo:
Dividindo por
:
Também é uma hipérbole (no plano
), com as mesmas assíntotas
.
Resposta
Superfície: cone duplo elíptico com vértice em
e eixo ao longo do eixo
.
Interseção com
: ponto
.
Interseção com
: par de retas
e
no plano
.
Seção em
: hipérbole
no plano
.
Seção em
: hipérbole
no plano
.