Identifique a superfície e, quando possível, identifique as seções e os traços solicitados em cada item.
Superfície: -x^{2}+9 y^{2}=-3 z^{2}. Traços e seções: x=0, z=0, y=3 e y=-1.

Passo 1

O enunciado dá a superfície definida pela equação -x^{2}+9y^{2}=-3z^{2} e pede que identifiquemos a superfície e, quando possível, identifiquemos as interseções (traços/seções) com os planos x=0, z=0, y=3 e y=-1.
Informações dadas:
  • Equação da superfície: -x^{2}+9y^{2}=-3z^{2}.
  • Planos onde precisamos encontrar interseções: x=0, z=0, y=3, y=-1.
O que precisamos fornecer:
  • Identificar que tipo de superfície é a dada por -x^{2}+9y^{2}=-3z^{2}.
  • Para cada plano pedido, substituir na equação e descrever a curva resultante (equação e classificação: ponto, reta, par de retas, elipse, hipérbole, etc.).

Passo 2

Vamos primeiro manipular a equação para ver a forma geométrica global. Partimos de
-x^{2}+9y^{2}=-3z^{2}.
Trago todos os termos para um lado:
-x^{2}+9y^{2}+3z^{2}=0.
Multiplico por -1 para ficar mais claro o sinal principal:
x^{2}-9y^{2}-3z^{2}=0.
Esta é uma forma homogênea quadrática (todas as monômios são de grau 2 e não há termo constante). Quando uma equação quadrática homogênea tem o lado direito igual a zero, ela representa um cone com vértice na origem (porque se (x,y,z) é solução então t(x,y,z) também é solução para qualquer t). Portanto já indicamos que a superfície é um cone duplo (passa pela origem e se estende em duas “nappes”).

Passo 3

Agora vamos identificar o tipo mais preciso do cone. Reescrevendo como
x^{2}=9y^{2}+3z^{2},
vemos que para cada plano x=\text{constante} com x\neq 0 a interseção é a curva
9y^{2}+3z^{2}=x^{2},
ou seja, uma elipse (porque soma de termos quadráticos positivos = constante positiva). Portanto o cone tem secções transversais elípticas: é um cone elíptico. Como as seções perpendiculares ao eixo estão em planos x= const, o eixo do cone é o eixo x. O vértice está em (0,0,0).
Resumo (já identificado): a superfície é um cone duplo elíptico com vértice em (0,0,0) e eixo ao longo do eixo x.

Passo 4

Interseção com o plano x=0.
Substituo x=0 na equação original:
-0^{2}+9y^{2}=-3z^{2}\quad\Longrightarrow\quad 9y^{2}=-3z^{2}.
Passo tudo para um lado:
9y^{2}+3z^{2}=0.
Os termos 9y^{2} e 3z^{2} são não-negativos. A soma deles só pode ser zero se ambos forem zero. Logo y=0 e z=0. Portanto a interseção é apenas o ponto (0,0,0).

Passo 5

Interseção com o plano z=0.
Substituo z=0 na equação:
-x^{2}+9y^{2}=-3\cdot 0^{2}\quad\Longrightarrow\quad -x^{2}+9y^{2}=0.
Reescrevo:
9y^{2}=x^{2}\quad\Longrightarrow\quad x^{2}-9y^{2}=0.
Fatorando:
(x-3y)(x+3y)=0.
Isto representa a união de duas retas no plano z=0: x=3y e x=-3y. Em outras palavras, a interseção é um par de retas concorrentes na origem (um “X”) contido no plano z=0.

Passo 6

Seção com o plano y=3.
Substituo y=3 na equação:
-x^{2}+9\cdot 3^{2}=-3z^{2}\quad\Longrightarrow\quad -x^{2}+81=-3z^{2}.
Passo os termos para um lado:
x^{2}-3z^{2}=81.
Dividindo ambos os lados por 81 para colocar em forma padrão:
\frac{x^{2}}{81}-\frac{z^{2}}{27}=1.
Isto é a equação de uma hipérbole no plano y=3 (uma vez que um quadrado tem coeficiente positivo e o outro negativo e a constante do lado direito é positiva). Podemos também notar que as assíntotas são dadas por x^{2}-3z^{2}=0, ou x=\pm\sqrt{3}\,z.

Passo 7

Seção com o plano y=-1.
Substituo y=-1 (observe que y^{2}=1) na equação:
-x^{2}+9\cdot(-1)^{2}=-3z^{2}\quad\Longrightarrow\quad -x^{2}+9=-3z^{2}.
Reescrevendo:
x^{2}-3z^{2}=9.
Dividindo por 9:
\frac{x^{2}}{9}-\frac{z^{2}}{3}=1.
Também é uma hipérbole (no plano y=-1), com as mesmas assíntotas x=\pm\sqrt{3}\,z.

Resposta

Superfície: cone duplo elíptico com vértice em (0,0,0) e eixo ao longo do eixo x.
Interseção com x=0: ponto (0,0,0).
Interseção com z=0: par de retas x=3y e x=-3y no plano z=0.
Seção em y=3: hipérbole \dfrac{x^{2}}{81}-\dfrac{z^{2}}{27}=1 no plano y=3.
Seção em y=-1: hipérbole \dfrac{x^{2}}{9}-\dfrac{z^{2}}{3}=1 no plano y=-1.

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