Identifique as superfícies abaixo:
Passo 1
O enunciado pede que a gente identifique a superfície dada pela equação
Informações fornecidas: a equação é um polinômio homogêneo de grau
nas variáveis
, sem termos lineares ou constantes. A superfície passa pela origem
.
Passo 2
Reescrevo a equação em forma padrão que facilita a classificação, colocando tudo num lado:
Isto é uma equação quadrática homogênea de segunda ordem. Quando uma equação quadrática homogênea tem o lado direito igual a zero, tipicamente descreve um cone (possui vértice na origem), mas vamos justificar e ver o tipo de cone.
Passo 3
Faço uma observação simples e direta: posso resolver para
em função de
:
Isso mostra que, para cada par
(exceto o par
), existem dois valores de
, um positivo e um negativo. Portanto a superfície tem duas nappas (duas “folhas”) simétricas em relação à origem — é um cone duplo com vértice na origem.
Passo 4
Para entender a forma das seções transversais, pego um plano
com
. Intersecção com a superfície dá
Essa equação, para
, é a equação de uma elipse no plano
. Logo, as seções transversais por planos perpendiculares ao eixo
são elipses — isto caracteriza um cone de seção elíptica (não circular).
Passo 5
Calculo os semi-eixos dessas elipses para visualizar melhor. Divide-se por
:
Portanto os semi-eixos são
na direção
e
na direção
. Como
em geral, a seção é elíptica, não circular.
Passo 6
Mostro que, por mudança de escala (mudança de coordenadas linear diagonal), a equação vira o cone circular canônico. Defino novas variáveis
Substituindo, obtemos
ou
que é a equação do cone duplo circular padrão (eixo
). Essa transformação mostra que a nossa superfície é um cone cuja seção é elíptica na escala original — isto é, um cone elíptico obtido por esticar o cone circular nas direções
e
.
Passo 7
Resumindo as propriedades que determinam a classificação:
- A equação é homogênea de grau
com lado direito zero → vértice na origem e superfície centrada na origem. - Há duas nappas (valores
) → cone duplo. - Seções por planos
são elipses → seção elíptica. - Eixo do cone é o eixo
(porque a variável aparece isolada do lado direito).
Passo 8
Conclusão didática: a superfície é um cone duplo com vértice na origem, cujas seções por planos perpendiculares ao eixo
são elipses (portanto um cone elíptico). Se quisesse visualizar, para
a seção é a elipse
com semi-eixos
e
.
Resposta
Cone duplo de seção elíptica com vértice na origem e eixo ao longo do eixo
.