Identifique as superfícies abaixo:
15 z^{2}+4 y^{2}=x^{2}

Passo 1

O enunciado pede que a gente identifique a superfície dada pela equação
15 z^{2}+4 y^{2}=x^{2}.
Informações fornecidas: a equação é um polinômio homogêneo de grau 2 nas variáveis x,y,z, sem termos lineares ou constantes. A superfície passa pela origem (0,0,0).

Passo 2

Reescrevo a equação em forma padrão que facilita a classificação, colocando tudo num lado:
x^{2}-4y^{2}-15z^{2}=0.
Isto é uma equação quadrática homogênea de segunda ordem. Quando uma equação quadrática homogênea tem o lado direito igual a zero, tipicamente descreve um cone (possui vértice na origem), mas vamos justificar e ver o tipo de cone.

Passo 3

Faço uma observação simples e direta: posso resolver para x em função de y,z:
x=\pm\sqrt{4y^{2}+15z^{2}}.
Isso mostra que, para cada par (y,z) (exceto o par (0,0)), existem dois valores de x, um positivo e um negativo. Portanto a superfície tem duas nappas (duas “folhas”) simétricas em relação à origem — é um cone duplo com vértice na origem.

Passo 4

Para entender a forma das seções transversais, pego um plano x=c com c\neq 0. Intersecção com a superfície dá
4y^{2}+15z^{2}=c^{2}.
Essa equação, para c\neq 0, é a equação de uma elipse no plano (y,z). Logo, as seções transversais por planos perpendiculares ao eixo x são elipses — isto caracteriza um cone de seção elíptica (não circular).

Passo 5

Calculo os semi-eixos dessas elipses para visualizar melhor. Divide-se por c^{2}:
\frac{y^{2}}{(c/2)^{2}}+\frac{z^{2}}{(c/\sqrt{15})^{2}}=1.
Portanto os semi-eixos são a=c/2 na direção y e b=c/\sqrt{15} na direção z. Como a\neq b em geral, a seção é elíptica, não circular.

Passo 6

Mostro que, por mudança de escala (mudança de coordenadas linear diagonal), a equação vira o cone circular canônico. Defino novas variáveis
u=x,\qquad v=2y,\qquad w=\sqrt{15}\,z.
Substituindo, obtemos
u^{2}=v^{2}+w^{2},
ou
u^{2}-v^{2}-w^{2}=0,
que é a equação do cone duplo circular padrão (eixo u). Essa transformação mostra que a nossa superfície é um cone cuja seção é elíptica na escala original — isto é, um cone elíptico obtido por esticar o cone circular nas direções y e z.

Passo 7

Resumindo as propriedades que determinam a classificação:
  • A equação é homogênea de grau 2 com lado direito zero → vértice na origem e superfície centrada na origem.
  • Há duas nappas (valores x=\pm\sqrt{\cdot}) → cone duplo.
  • Seções por planos x=c são elipses → seção elíptica.
  • Eixo do cone é o eixo x (porque a variável x aparece isolada do lado direito).

Passo 8

Conclusão didática: a superfície é um cone duplo com vértice na origem, cujas seções por planos perpendiculares ao eixo x são elipses (portanto um cone elíptico). Se quisesse visualizar, para x=1 a seção é a elipse 4y^{2}+15z^{2}=1 com semi-eixos 1/2 e 1/\sqrt{15}.

Resposta

Cone duplo de seção elíptica com vértice na origem e eixo ao longo do eixo x.

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