Identifique as superfícies abaixo:
Passo 1
O enunciado pede que eu identifique a superfície dada pela equação
Informações fornecidas:
- A equação relaciona
, e de forma quadrática em e e linear em . - Não há termos mistos
, nem termos lineares em ou , nem termo em .
A tarefa é dizer que tipo de superfície emessa equação representa.
Passo 2
Vou primeiro reescrever a equação de uma forma clara:
Explicando passo a passo o que procurar: superfícies quadráticas (ou quádricas) podem ser classificadas observando os termos quadráticos. Quando a variável
aparece isolada como aqui (isto é, é igual a uma forma quadrática em
), frequentemente estamos diante de um “paraboloide”. Existem dois tipos básicos de paraboloide:
- Paraboloide elíptico: forma típica
com e com o mesmo sinal (ambos positivos, por exemplo). - Paraboloide hiperbólico: forma típica
(sinais opostos), que tem formato de sela.
A partir do sinal dos coeficientes
e
já tenho pista: são sinais opostos → possível paraboloide hiperbólico. Vou confirmar examinando cortes e propriedades.
Passo 3
Analisar cortes horizontais (planos
). Para um valor fixo
obtenho as curvas de nível
- Se
posso escrever
que é a equação de uma hipérbole com eixo principal na direção do eixo
.
- Se
tenho
ou seja, duas retas que se cruzam (caso degenerado).
- Se
escrevo e obtém-se novamente uma hipérbole, agora com eixo principal na direção do eixo .
Conclusão desta parte: as curvas de nível (interseções com planos horizontais) são hipérboles (ou retas no caso
). Isso justifica a palavra “hiperbólico” na classificação.
Passo 4
Analisar cortes verticais por planos paralelos aos eixos:
- Corte por
(fixo): fica
Para cada
fixo, como função de
isso é uma parábola que abre para cima (coeficiente de
é
).
- Corte por
(fixo): fica
Como função de
isso é uma parábola que abre para baixo (coeficiente de
é
).
Ou seja, em planos perpendiculares os ramos parabólicos abrem em direções opostas — característica típica da “sela” (forma de um paraboloide hiperbólico).
Passo 5
Uma verificação pelo teste de segunda derivada (Hessiana) para a função
:
- As derivadas segundas são
e , e a derivada mista é zero. - A matriz Hessiana em
é
que tem autovalores de sinais opostos (
e
). Isso indica que na origem a superfície tem um ponto de sela — reforçando que não é um máximo nem um mínimo, mas uma superfície com curvaturas opostas nas duas direções principais.]
Passo 6
Resumo didático e intuitivo: as seções horizontais são hipérboles, as seções verticais são parábolas com aberturas opostas, e a Hessiana tem sinais opostos nas direções principais. Tudo isso identifica a superfície como um paraboloide cuja curvatura é de tipo hiperbólico — ou seja, um paraboloide hiperbólico (superfície em sela). Você consegue imaginar: se andarmos na direção
vemos um “vale” (parábola para cima) e se andarmos na direção
vemos um “morro” (parábola para baixo) — por isso a forma de sela.
Resposta
Paraboloide hiperbólico
.