Identifique as superfícies abaixo:
x^{2}-3 y^{2}=z

Passo 1

O enunciado pede que eu identifique a superfície dada pela equação
x^{2}-3 y^{2}=z.
Informações fornecidas:
  • A equação relaciona x, y e z de forma quadrática em x e y e linear em z.
  • Não há termos mistos xy, nem termos lineares em x ou y, nem termo em z^{2}.
    A tarefa é dizer que tipo de superfície em \mathbb{R}^{3} essa equação representa.

Passo 2

Vou primeiro reescrever a equação de uma forma clara:
z = x^{2} - 3y^{2}.
Explicando passo a passo o que procurar: superfícies quadráticas (ou quádricas) podem ser classificadas observando os termos quadráticos. Quando a variável z aparece isolada como aqui (isto é, é igual a uma forma quadrática em x,y), frequentemente estamos diante de um “paraboloide”. Existem dois tipos básicos de paraboloide:
  • Paraboloide elíptico: forma típica \;z = a x^{2} + b y^{2} com a e b com o mesmo sinal (ambos positivos, por exemplo).
  • Paraboloide hiperbólico: forma típica \;z = a x^{2} - b y^{2} (sinais opostos), que tem formato de sela.
A partir do sinal dos coeficientes +1 e -3 já tenho pista: são sinais opostos → possível paraboloide hiperbólico. Vou confirmar examinando cortes e propriedades.

Passo 3

Analisar cortes horizontais (planos z=\text{const}). Para um valor fixo \;z=k\; obtenho as curvas de nível
x^{2}-3y^{2}=k.
  • Se \;k>0\; posso escrever
\frac{x^{2}}{k}-\frac{y^{2}}{k/3}=1,
que é a equação de uma hipérbole com eixo principal na direção do eixo x.
  • Se \;k=0\; tenho
x^{2}-3y^{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad x=\pm\sqrt{3}\,y,
ou seja, duas retas que se cruzam (caso degenerado).
  • Se \;k<0\; escrevo -x^{2}+3y^{2}=-k>0 e obtém-se novamente uma hipérbole, agora com eixo principal na direção do eixo y.
Conclusão desta parte: as curvas de nível (interseções com planos horizontais) são hipérboles (ou retas no caso k=0). Isso justifica a palavra “hiperbólico” na classificação.

Passo 4

Analisar cortes verticais por planos paralelos aos eixos:
  • Corte por y=y_{0} (fixo): fica
z = x^{2} - 3y_{0}^{2}.
Para cada y_{0} fixo, como função de x isso é uma parábola que abre para cima (coeficiente de x^{2} é +1).
  • Corte por x=x_{0} (fixo): fica
z = x_{0}^{2} - 3y^{2}.
Como função de y isso é uma parábola que abre para baixo (coeficiente de y^{2} é -3).
Ou seja, em planos perpendiculares os ramos parabólicos abrem em direções opostas — característica típica da “sela” (forma de um paraboloide hiperbólico).

Passo 5

Uma verificação pelo teste de segunda derivada (Hessiana) para a função z(x,y)=x^{2}-3y^{2}:
  • As derivadas segundas são \partial^{2}z/\partial x^{2}=2 e \partial^{2}z/\partial y^{2}=-6, e a derivada mista é zero.
  • A matriz Hessiana em (x,y) é
\begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt]0 & -6\end{pmatrix},
que tem autovalores de sinais opostos ( 2>0 e -6<0). Isso indica que na origem a superfície tem um ponto de sela — reforçando que não é um máximo nem um mínimo, mas uma superfície com curvaturas opostas nas duas direções principais.]

Passo 6

Resumo didático e intuitivo: as seções horizontais são hipérboles, as seções verticais são parábolas com aberturas opostas, e a Hessiana tem sinais opostos nas direções principais. Tudo isso identifica a superfície como um paraboloide cuja curvatura é de tipo hiperbólico — ou seja, um paraboloide hiperbólico (superfície em sela). Você consegue imaginar: se andarmos na direção x vemos um “vale” (parábola para cima) e se andarmos na direção y vemos um “morro” (parábola para baixo) — por isso a forma de sela.

Resposta

Paraboloide hiperbólico \;z = x^{2} - 3y^{2}.

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