Identifique as superfícies abaixo:
9 z^{2}+4 x^{2}-y=0

Passo 1

O enunciado pede que eu identifique a superfície dada pela equação. As informações fornecidas são exatamente a equação
9 z^{2} + 4 x^{2} - y = 0.
Ou seja, temos uma única equação em três variáveis x,y,z que descreve uma superfície no espaço.

Passo 2

Primeiro passo técnico simples: isolo y na equação para ver a forma explícita em função de x e z. A equação reescrita é
y = 4 x^{2} + 9 z^{2}.
Isso já deixa claro que y é soma de termos quadráticos positivos em x e z.

Passo 3

Vou comparar essa forma com formas padrão de quadráticas em três variáveis. Uma forma padrão conhecida é a do paraboloide elíptico:
y = A x^{2} + B z^{2},
com A>0 e B>0. No nosso caso temos A=4 e B=9, ambos positivos, portanto a forma bate com a do paraboloide elíptico.

Passo 4

Explico o que é um paraboloide elíptico (de forma didática): é uma superfície em que, ao cortar por planos paralelos ao plano xz (isto é, planos y= constante), obtemos seções transversais que são elipses; e ao cortar por planos que contêm o eixo de simetria (por exemplo planos x= constante ou z= constante) obtemos parábolas. É diferente de um paraboloide hiperbólico (sela) que tem sinais opostos nos termos quadráticos.

Passo 5

Mostro as seções características para solidificar a identificação.
Seção por planos horizontais y=c (pego isto diretamente da equação reescrita):
c = 4 x^{2} + 9 z^{2}.
  • Se c<0 não há pontos reais (nenhuma interseção).
  • Se c=0 a equação é 4x^{2}+9z^{2}=0, que só tem solução x=0,z=0 (um ponto).
  • Se c>0 temos a elipse
\frac{x^{2}}{c/4} + \frac{z^{2}}{c/9} = 1.
Logo as seções horizontais são elipses cujo tamanho cresce com c.
Seção por planos x= constante, x=x_{0}:
y = 4x_{0}^{2} + 9 z^{2} \quad\Longrightarrow\quad y-4x_{0}^{2} = 9 z^{2},
que é uma parábola no plano (z,y) deslocada para cima em y.
Seção por planos z= constante, z=z_{0}:
y = 4 x^{2} + 9 z_{0}^{2} \quad\Longrightarrow\quad y-9z_{0}^{2} = 4 x^{2},
que é uma parábola no plano (x,y) deslocada para cima em y.
Essas observações confirmam a geometria de paraboloide elíptico.

Passo 6

Identifico vértice, eixo e direção de abertura.
  • Vértice: é o ponto onde a parábola/ superfície “começa” — aqui ocorre quando x=0 e z=0. Substituindo na equação, y=0. Então o vértice é o ponto (0,0,0), ou seja, (0,0,0).
  • Eixo de simetria: como y depende apenas de x^{2} e z^{2}, a superfície é simétrica em relação ao eixo y. Portanto o eixo é o eixo y (reta parametrizada por (0,t,0)).
  • Direção de abertura: como os coeficientes de x^{2} e z^{2} são positivos, a superfície abre no sentido de y positivo. Ou seja, a “boca” do paraboloide aponta para y>0.

Passo 7

Comento sobre escalas e alongamentos (útil para desenhar): os coeficientes 4 e 9 indicam a curvatura nas direções x e z. Para uma mesma altura y=c>0, a elipse tem semi-eixos
a_x = \sqrt{\frac{c}{4}} = \frac{\sqrt{c}}{2},\qquad a_z = \sqrt{\frac{c}{9}} = \frac{\sqrt{c}}{3}.
Ou seja, a superfície é mais “estreita” na direção z (porque 9 é maior) do que na direção x.

Passo 8

Faço uma breve comparação com outras superfícies para evitar confusões na prova:
  • Não é um cone elíptico (cone teria termos homogêneos quadráticos sem termo linear isolado, tipo 4x^{2}+9z^{2}-y^{2}=0 ou 4x^{2}+9z^{2}-y^{2}=0).
  • Não é um cilindro (cilindro teria ausência de uma variável ao quadrado).
  • Não é um paraboloide hiperbólico (sela), porque aí os coeficientes dos quadrados teriam sinais opostos, por exemplo y = x^{2} - z^{2}.

Passo 9

Resumo intuitivo para gravar na prova: pense em y como “altura” que cresce com x^{2} e z^{2}; isso já é a cara de um paraboloide elíptico com vértice na origem e eixo vertical (eixo y).

Resposta

Paraboloide elíptico com vértice em (0,0,0), eixo ao longo do eixo y e abrindo para y>0.

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