Identifique as superfícies abaixo:
Passo 1
O enunciado pede que eu identifique a superfície dada pela equação. As informações fornecidas são exatamente a equação
Ou seja, temos uma única equação em três variáveis
que descreve uma superfície no espaço.
Passo 2
Primeiro passo técnico simples: isolo
na equação para ver a forma explícita em função de
e
. A equação reescrita é
Isso já deixa claro que
é soma de termos quadráticos positivos em
e
.
Passo 3
Vou comparar essa forma com formas padrão de quadráticas em três variáveis. Uma forma padrão conhecida é a do paraboloide elíptico:
com
e
. No nosso caso temos
e
, ambos positivos, portanto a forma bate com a do paraboloide elíptico.
Passo 4
Explico o que é um paraboloide elíptico (de forma didática): é uma superfície em que, ao cortar por planos paralelos ao plano
(isto é, planos
constante), obtemos seções transversais que são elipses; e ao cortar por planos que contêm o eixo de simetria (por exemplo planos
constante ou
constante) obtemos parábolas. É diferente de um paraboloide hiperbólico (sela) que tem sinais opostos nos termos quadráticos.
Passo 5
Mostro as seções características para solidificar a identificação.
Seção por planos horizontais
(pego isto diretamente da equação reescrita):
- Se
não há pontos reais (nenhuma interseção). - Se
a equação é , que só tem solução (um ponto). - Se
temos a elipse
Logo as seções horizontais são elipses cujo tamanho cresce com
.
Seção por planos
constante,
:
que é uma parábola no plano
deslocada para cima em
.
Seção por planos
constante,
:
que é uma parábola no plano
deslocada para cima em
.
Essas observações confirmam a geometria de paraboloide elíptico.
Passo 6
Identifico vértice, eixo e direção de abertura.
- Vértice: é o ponto onde a parábola/ superfície “começa” — aqui ocorre quando
e . Substituindo na equação, . Então o vértice é o ponto , ou seja, . - Eixo de simetria: como
depende apenas de e , a superfície é simétrica em relação ao eixo . Portanto o eixo é o eixo (reta parametrizada por ). - Direção de abertura: como os coeficientes de
e são positivos, a superfície abre no sentido de positivo. Ou seja, a “boca” do paraboloide aponta para .
Passo 7
Comento sobre escalas e alongamentos (útil para desenhar): os coeficientes
e
indicam a curvatura nas direções
e
. Para uma mesma altura
, a elipse tem semi-eixos
Ou seja, a superfície é mais “estreita” na direção
(porque
é maior) do que na direção
.
Passo 8
Faço uma breve comparação com outras superfícies para evitar confusões na prova:
- Não é um cone elíptico (cone teria termos homogêneos quadráticos sem termo linear isolado, tipo
ou ). - Não é um cilindro (cilindro teria ausência de uma variável ao quadrado).
- Não é um paraboloide hiperbólico (sela), porque aí os coeficientes dos quadrados teriam sinais opostos, por exemplo
.
Passo 9
Resumo intuitivo para gravar na prova: pense em
como “altura” que cresce com
e
; isso já é a cara de um paraboloide elíptico com vértice na origem e eixo vertical (eixo
).
Resposta
Paraboloide elíptico com vértice em
, eixo ao longo do eixo
e abrindo para
.