Identifique as superfícies abaixo:
3 x^{2}+5 y^{2}=1-z^{2}

Passo 1

O enunciado fornece a equação
3x^{2}+5y^{2}=1-z^{2}
e pede para identificar a(s) superfície(s) descrita(s) por essa equação. Informações importantes extraídas do enunciado:
  • A equação envolve as variáveis x, y e z.
  • Não há termos lineares (como x, y ou z isolados) nem termos mistos (como xy, xz, yz) no lado esquerdo.
  • A pergunta é: que tipo de superfície no espaço essa equação representa?

Passo 2

Primeiro passo algébrico: coloque todos os termos no mesmo lado para obter uma forma mais familiar. Somando z^{2} aos dois lados,
3x^{2}+5y^{2}+z^{2}=1.

Passo 3

Agora escrevemos essa equação na forma padrão de uma quadrática diagonal. Repare que podemos escrever cada termo como uma fração com x^{2}, y^{2}, z^{2} divididos por constantes:
3x^{2}=\frac{x^{2}}{1/3},\qquad 5y^{2}=\frac{y^{2}}{1/5},\qquad z^{2}=\frac{z^{2}}{1}.
Substituindo na equação obtemos a forma padrão
\frac{x^{2}}{1/3}+\frac{y^{2}}{1/5}+\frac{z^{2}}{1}=1.

Passo 4

Interpretação da forma padrão: a equação
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1
é exatamente a definição de um elipsoide centrado na origem, com semieixos a, b e c alinhados aos eixos coordenados. Comparando com nossa equação, identificamos
a^{2}=\tfrac{1}{3},\qquad b^{2}=\tfrac{1}{5},\qquad c^{2}=1,
portanto
a=\frac{1}{\sqrt{3}},\qquad b=\frac{1}{\sqrt{5}},\qquad c=1.

Passo 5

Explicação geométrica adicional (útil para a prova): como não há termos mistos nem termos lineares, o centro do elipsoide é a origem (0,0,0) e seus eixos principais coincidem com os eixos x, y, z. As secções transversais por planos z= constante são elipses dadas por
3x^{2}+5y^{2}=1-z^{2}.
Para existir ponto real precisamos de 1-z^{2}\ge 0, ou seja |z|\le 1. Quando z=0 a seção máxima é a elipse
3x^{2}+5y^{2}=1,
com semi-eixos \sqrt{1/3} e \sqrt{1/5}. Quando z=\pm 1 a seção reduz-se ao ponto (0,0). Isso confirma a forma elipsoidal (corpo fechado, limitado).

Passo 6

Resumo do raciocínio que vale na prova: ao ver uma soma de termos quadráticos sem sinais negativos (após trazer todos os termos para um lado) e igualando a uma constante positiva, você deve pensar em elipsoide; colocar na forma com divisões mostra diretamente os comprimentos dos semieixos.

Resposta

Elipsoide centrado na origem com equação \dfrac{x^{2}}{1/3}+\dfrac{y^{2}}{1/5}+\dfrac{z^{2}}{1}=1 e semieixos a=\dfrac{1}{\sqrt{3}}, b=\dfrac{1}{\sqrt{5}}, c=1.

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