Identifique as superfícies abaixo:
Passo 1
O enunciado fornece a equação
e pede para identificar a(s) superfície(s) descrita(s) por essa equação. Informações importantes extraídas do enunciado:
- A equação envolve as variáveis
, e . - Não há termos lineares (como
, ou isolados) nem termos mistos (como , , ) no lado esquerdo. - A pergunta é: que tipo de superfície no espaço essa equação representa?
Passo 2
Primeiro passo algébrico: coloque todos os termos no mesmo lado para obter uma forma mais familiar. Somando
aos dois lados,
Passo 3
Agora escrevemos essa equação na forma padrão de uma quadrática diagonal. Repare que podemos escrever cada termo como uma fração com
,
,
divididos por constantes:
Substituindo na equação obtemos a forma padrão
Passo 4
Interpretação da forma padrão: a equação
é exatamente a definição de um elipsoide centrado na origem, com semieixos
,
e
alinhados aos eixos coordenados. Comparando com nossa equação, identificamos
portanto
Passo 5
Explicação geométrica adicional (útil para a prova): como não há termos mistos nem termos lineares, o centro do elipsoide é a origem
e seus eixos principais coincidem com os eixos
,
,
. As secções transversais por planos
constante são elipses dadas por
Para existir ponto real precisamos de
, ou seja
. Quando
a seção máxima é a elipse
com semi-eixos
e
. Quando
a seção reduz-se ao ponto
. Isso confirma a forma elipsoidal (corpo fechado, limitado).
Passo 6
Resumo do raciocínio que vale na prova: ao ver uma soma de termos quadráticos sem sinais negativos (após trazer todos os termos para um lado) e igualando a uma constante positiva, você deve pensar em elipsoide; colocar na forma com divisões mostra diretamente os comprimentos dos semieixos.
Resposta
Elipsoide centrado na origem com equação
e semieixos
,
,
.