Identifique as superfícies abaixo:
Passo 1
Enunciado: identificar a superfície dada por
O que é pedido: dizer qual é a superfície (nome geométrico) e, se útil, apresentar sua forma canônica e orientação. Informações dadas: coeficientes dos termos quadráticos são
para
,
para
e
para
quando trazemos tudo para um lado da equação; não há termos lineares nem termos mistos e não há translação (centro na origem).
Passo 2
Primeiro passo algébrico simples: juntar todos os termos no mesmo lado para recognoscermos a forma padrão. Subtraindo
dos dois lados:
Passo 3
Para comparar com as formas canônicas de quadricas (onde a igualdade costuma ser igual a
), dividimos ambos os lados por
:
Explicação didática: a ideia é escrever a equação como soma de termos do tipo positivo mais positivo menos positivo igual a
; isso facilita reconhecer o tipo de superfície pelos sinais e por como são as secções.
Passo 4
Reescrevemos cada termo como
para enxergar os “raios” canônicos. Note que
Logo a forma fica
Interpretação das constantes: os denominadores
são os quadrados das semi‑“raizes” nas direções
(quando o sinal é positivo dá elipse nas secções correspondentes).
Passo 5
Classificação pela assinatura (sinais dos termos):
- Temos dois termos com coeficiente positivo (
e ) e um termo com coeficiente negativo ( ). - A equação da forma
com dois sinais positivos e um negativo representa um hiperboloide de uma folha. Racionalização geométrica rápida: para cada valor fixo de
a equação dá
que é sempre uma elipse (porque o lado direito é
para todo
), e essas elipses variam continuamente com
, formando uma superfície conectada (uma só folha) que se estende ao longo do eixo com sinal oposto (aqui o eixo
). Para ver outra secção, se fixarmos
obtemos
que é uma hipérbole no plano
(ou melhor, no plano
com coordenadas
), consistente com a natureza hiperbólica em direções envolvendo
.
Passo 6
Conclusões úteis para a prova (resumindo e memorizando):
- A superfície é um hiperboloide de uma folha.
- Centro na origem (
) porque não há termos lineares nem constantes deslocando o centro além do ajuste já feito. - Eixo do hiperboloide: eixo paralelo ao eixo
(a direção do termo com coeficiente negativo único). - Forma canônica que podemos usar:
Valores das semi‑“raizes” (úteis para esboçar):
ao longo de
,
ao longo de
, e
para o termo
(com sinal negativo, indicando eixo).
Resposta
Hiperboloide de uma folha, centrado na origem, com eixo paralelo ao eixo
.\nForma canônica:
.