Identifique as superfícies abaixo:
5 z^{2}+4 x^{2}=y^{2}+3

Passo 1

Enunciado: identificar a superfície dada por
5 z^{2}+4 x^{2}=y^{2}+3.
O que é pedido: dizer qual é a superfície (nome geométrico) e, se útil, apresentar sua forma canônica e orientação. Informações dadas: coeficientes dos termos quadráticos são 4 para x^{2}, 5 para z^{2} e -1 para y^{2} quando trazemos tudo para um lado da equação; não há termos lineares nem termos mistos e não há translação (centro na origem).

Passo 2

Primeiro passo algébrico simples: juntar todos os termos no mesmo lado para recognoscermos a forma padrão. Subtraindo y^{2}+3 dos dois lados:
4x^{2}+5z^{2}-y^{2}=3.

Passo 3

Para comparar com as formas canônicas de quadricas (onde a igualdade costuma ser igual a 1), dividimos ambos os lados por 3:
\frac{4}{3}x^{2}+\frac{5}{3}z^{2}-\frac{1}{3}y^{2}=1.
Explicação didática: a ideia é escrever a equação como soma de termos do tipo positivo mais positivo menos positivo igual a 1; isso facilita reconhecer o tipo de superfície pelos sinais e por como são as secções.

Passo 4

Reescrevemos cada termo como \dfrac{\text{quadrado}}{\text{constante}} para enxergar os “raios” canônicos. Note que
\frac{4}{3}x^{2}= \frac{x^{2}}{3/4},\qquad \frac{5}{3}z^{2}= \frac{z^{2}}{3/5},\qquad \frac{1}{3}y^{2}= \frac{y^{2}}{3}.
Logo a forma fica
\frac{x^{2}}{3/4}+\frac{z^{2}}{3/5}-\frac{y^{2}}{3}=1.
Interpretação das constantes: os denominadores 3/4,\;3/5,\;3 são os quadrados das semi‑“raizes” nas direções x,z,y (quando o sinal é positivo dá elipse nas secções correspondentes).

Passo 5

Classificação pela assinatura (sinais dos termos):
  • Temos dois termos com coeficiente positivo ( x^{2} e z^{2}) e um termo com coeficiente negativo ( -y^{2}).
  • A equação da forma
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{z^{2}}{b^{2}}-\frac{y^{2}}{c^{2}}=1
com dois sinais positivos e um negativo representa um hiperboloide de uma folha. Racionalização geométrica rápida: para cada valor fixo de y a equação dá
\frac{x^{2}}{3/4}+\frac{z^{2}}{3/5}=1+\frac{y^{2}}{3},
que é sempre uma elipse (porque o lado direito é >0 para todo y), e essas elipses variam continuamente com y, formando uma superfície conectada (uma só folha) que se estende ao longo do eixo com sinal oposto (aqui o eixo y). Para ver outra secção, se fixarmos x=0 obtemos
5z^{2}-y^{2}=3,
que é uma hipérbole no plano xz (ou melhor, no plano x=0 com coordenadas y,z), consistente com a natureza hiperbólica em direções envolvendo y.

Passo 6

Conclusões úteis para a prova (resumindo e memorizando):
  • A superfície é um hiperboloide de uma folha.
  • Centro na origem ( 0,0,0) porque não há termos lineares nem constantes deslocando o centro além do ajuste já feito.
  • Eixo do hiperboloide: eixo paralelo ao eixo y (a direção do termo com coeficiente negativo único).
  • Forma canônica que podemos usar:
\frac{x^{2}}{3/4}+\frac{z^{2}}{3/5}-\frac{y^{2}}{3}=1.
Valores das semi‑“raizes” (úteis para esboçar): \sqrt{3/4}=\dfrac{\sqrt{3}}{2} ao longo de x, \sqrt{3/5} ao longo de z, e \sqrt{3} para o termo y (com sinal negativo, indicando eixo).

Resposta

Hiperboloide de uma folha, centrado na origem, com eixo paralelo ao eixo \,y.\nForma canônica: \displaystyle \frac{x^{2}}{3/4}+\frac{z^{2}}{3/5}-\frac{y^{2}}{3}=1.

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