Identifique o tipo de seção cônica cuja equação é dada. Descreva a seção cônica, identificando seus vértices. Faça um esboço da seção cônica.
(j) y^{2}+2 y+12 x+25=0.

Passo 1

O enunciado dá a equação da curva
y^{2} + 2y + 12x + 25 = 0
e pede para identificar o tipo de seção cônica, descrever suas características e indicar seus vértices. Para isso vamos completar o quadrado em y e reescrever em forma padrão.

Passo 2

Complete o quadrado em y:
y^{2} + 2y = (y+1)^{2} - 1.
Substituindo na equação original,
(y+1)^{2} - 1 + 12x + 25 = 0 \quad\Longrightarrow\quad (y+1)^{2} + 12x + 24 = 0.
Isolando x,
12x = -\bigl(y+1\bigr)^{2} - 24 \quad\Longrightarrow\quad x = -\frac{1}{12}\,(y+1)^{2} \;-\;2.
Essa é a forma padrão de uma parábola cujo eixo é paralelo ao eixo x e que abre para a esquerda.

Passo 3

Na forma padrão de uma parábola
(y - y_{0})^{2} = -4p\,(x - x_{0}),
o vértice é (x_{0},y_{0}). Aqui temos
(y+1)^{2} = -12\,(x+2),
logo o vértice é
(x_{0},y_{0}) = (-2,\,-1).

Passo 4

Podemos ainda determinar o parâmetro focal p comparando -4p = -12, de onde p = 3. Isso confirma que a parábola abre para a esquerda com foco em
(x_{0}-p,\;y_{0}) = (-2-3,\,-1) = (-5,\,-1)
e diretriz x = x_{0}+p = 1. O eixo principal é a reta y=-1.

Resposta

É uma parábola com eixo paralelo ao eixo x, que abre para a esquerda, cujo vértice é (-2,-1). O foco é (-5,-1) e a diretriz é x=1.
Esboço qualitativo:
  • Vértice em (-2,-1).
  • Eixo horizontal y=-1.
  • Braços abertos para a esquerda.

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