Identifique o tipo de seção cônica cuja equação é dada. Descreva a seção cônica, identificando seus vértices. Faça um esboço da seção cônica.
(m) 4 x^{2}+\frac{y^{2}}{4}=1.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação
4x^{2}+\frac{y^{2}}{4}=1
e pede que a gente identifique que tipo de seção cônica é, ache seus vértices e faça um esboço. O conteúdo aqui é reconhecimento de elipse e leitura dos semi-eixos.

Passo 2

Para ver que é uma elipse, vamos escrever na forma canônica dividindo tudo por 1:
\frac{4x^{2}}{1} + \frac{\frac{y^{2}}{4}}{1} = 1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{x^{2}}{\tfrac{1}{4}} + \frac{y^{2}}{4} = 1.

Passo 3

Na forma
\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1
vemos que
a^{2} = \frac{1}{4},\quad b^{2}=4,
logo
a = \frac{1}{2},\quad b = 2.

Passo 4

Como b>a, o eixo maior é o eixo y com semi-eixo de comprimento 2, e o eixo menor é o eixo x com semi-eixo de comprimento \tfrac{1}{2}. Os vértices ficam, portanto, em
(\pm a,0) = \Bigl(\pm \tfrac12,0\Bigr) \quad\text{e}\quad (0,\pm b) = \bigl(0,\pm 2\bigr).

Passo 5

Para esboçar, imagine o retângulo de vértices \bigl(\pm\tfrac12,\pm2\bigr). A elipse é o contorno “esticado” que toca esse retângulo nos quatro pontos dos vértices listados.

Resposta

É uma elipse centrada na origem, com semi-eixo menor a=\tfrac{1}{2} ao longo de x e semi-eixo maior b=2 ao longo de y. Seus vértices são \bigl(\pm\tfrac12,0\bigr) e \bigl(0,\pm2\bigr).

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