If a function
has continuous second partial derivatives throughout an open region
, must the first-order partial derivatives of
be continuous on
? Give reasons for your answer.
Passo 1
O enunciado afirma que
tem derivadas parciais de segunda ordem contínuas em toda região aberta
. Queremos saber se, a partir disso, as derivadas parciais de primeira ordem de
, ou seja
e
, também são contínuas em
. O que vamos usar é a definição de função de classe
: se todas as derivadas parciais até ordem
existem e são contínuas, então a função é
.
Passo 2
Como
tem derivadas segundas contínuas, sabemos que
existem e são contínuas em
. Em particular,
admite derivadas parciais em
, dadas por
e ambas são contínuas em
.
Passo 3
Pelo teorema que garante que se uma função tem derivadas parciais contínuas num vizinho de um ponto, então ela é diferenciável nesse ponto, concluímos que
é diferenciável em cada ponto de
. Diferenciabilidade implica continuidade, logo
é contínua em
.
Passo 4
De modo análogo,
admite
e
como derivadas parciais, ambas contínuas em
. Assim,
também é diferenciável e, portanto, contínua em
.
Resposta
Sim. Se
tem derivadas parciais de segunda ordem contínuas em
, então
é de classe
e, em particular, de classe
. Isso garante que as derivadas parciais de primeira ordem
e
sejam contínuas em
.