If a function f(x, y) has continuous second partial derivatives throughout an open region R, must the first-order partial derivatives of f be continuous on R ? Give reasons for your answer.

Passo 1

O enunciado afirma que f(x,y) tem derivadas parciais de segunda ordem contínuas em toda região aberta R. Queremos saber se, a partir disso, as derivadas parciais de primeira ordem de f, ou seja f_x e f_y, também são contínuas em R. O que vamos usar é a definição de função de classe C^k: se todas as derivadas parciais até ordem k existem e são contínuas, então a função é C^k.

Passo 2

Como f tem derivadas segundas contínuas, sabemos que
f_{xx},\;f_{xy},\;f_{yx},\;f_{yy}
existem e são contínuas em R. Em particular, f_x admite derivadas parciais em R, dadas por
\frac{\partial}{\partial x}(f_x)=f_{xx} \quad\text{e}\quad \frac{\partial}{\partial y}(f_x)=f_{xy},
e ambas são contínuas em R.

Passo 3

Pelo teorema que garante que se uma função tem derivadas parciais contínuas num vizinho de um ponto, então ela é diferenciável nesse ponto, concluímos que f_x é diferenciável em cada ponto de R. Diferenciabilidade implica continuidade, logo f_x é contínua em R.

Passo 4

De modo análogo, f_y admite f_{yx} e f_{yy} como derivadas parciais, ambas contínuas em R. Assim, f_y também é diferenciável e, portanto, contínua em R.

Resposta

Sim. Se f tem derivadas parciais de segunda ordem contínuas em R, então f é de classe C^2 e, em particular, de classe C^1. Isso garante que as derivadas parciais de primeira ordem f_x e f_y sejam contínuas em R.

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