Does a function f(x, y) with continuous first partial derivatives throughout an open region R have to be continuous on R ? Give reasons for your answer.

Passo 1

O enunciado afirma que temos uma função f(x,y) definida numa região aberta R\subset\mathbb{R}^2 cujas derivadas parciais \frac{\partial f}{\partial x} e \frac{\partial f}{\partial y} existem e são contínuas em todo ponto de R. Queremos saber se isso garante que f é contínua em R.

Passo 2

Há um teorema padrão de cálculo em várias variáveis que diz:
Se as derivadas parciais de f existem numa vizinhança de um ponto (x_0,y_0) e são contínuas em (x_0,y_0), então f é diferenciável em (x_0,y_0).
Diferenciabilidade significa que podemos escrever para \Delta x\to0, \Delta y\to0:
f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0) = f_x(x_0,y_0)\,\Delta x + f_y(x_0,y_0)\,\Delta y + o\bigl(\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}\bigr).

Passo 3

Diferenciabilidade em um ponto implica continuidade nesse ponto, pois o termo de erro
o\bigl(\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}\bigr)
é um valor que, dividido por \sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}, tende a zero. Consequentemente,
\lim_{(\Delta x,\Delta y)\to(0,0)}\bigl[f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)\bigr] = 0,
o que é exatamente a definição de continuidade de f em (x_0,y_0). Como (x_0,y_0) era ponto arbitrário de R, f é contínua em todo R.

Resposta

Sim. Derivadas parciais contínuas em uma região aberta implicam que f é diferenciável ali, e diferenciabilidade acarreta continuidade.

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