Does a function
with continuous first partial derivatives throughout an open region
have to be continuous on
? Give reasons for your answer.
Passo 1
O enunciado afirma que temos uma função
definida numa região aberta
cujas derivadas parciais
e
existem e são contínuas em todo ponto de
. Queremos saber se isso garante que
é contínua em
.
Passo 2
Há um teorema padrão de cálculo em várias variáveis que diz:
Se as derivadas parciais de existem numa vizinhança de um ponto
e são contínuas em
, então
é diferenciável em
.
Diferenciabilidade significa que podemos escrever para ,
:
Se as derivadas parciais de
Diferenciabilidade significa que podemos escrever para
Passo 3
Diferenciabilidade em um ponto implica continuidade nesse ponto, pois o termo de erro
é um valor que, dividido por
, tende a zero. Consequentemente,
o que é exatamente a definição de continuidade de
em
. Como
era ponto arbitrário de
,
é contínua em todo
.
Resposta
Sim. Derivadas parciais contínuas em uma região aberta implicam que
é diferenciável ali, e diferenciabilidade acarreta continuidade.