(IFSP- Congonhas-2024) Uma esfera oca de massa M e raio R é lançada em uma superfície perfeitamente horizontal, sem girar, com velocidade inicial vo. Sabendo que é o coeficiente de atrito cinético entre a esfera e a superfície e que o momento de inércia de uma casca esférica em torno de um eixo contendo o seu centro de massa é I=(2 / 3) \mathrm{MR}^{2}, determine a velocidade desta esfera no exato momento em que o deslizamento cessa.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma casca esférica de massa M e raio R lançada sem giro com velocidade inicial v_0 sobre uma superfície horizontal com coeficiente de atrito cinético \mu. O momento de inércia em relação ao centro é
I = \tfrac{2}{3}MR^2.
Queremos achar a velocidade v do centro de massa no instante em que a esfera para de deslizar e passa a rolar sem deslizamento.

Passo 2

Enquanto desliza, a força de atrito cinético tem intensidade
F_{\rm atrito} = \mu\,M\,g
e age para desacelerar a translação, gerando uma aceleração
a = -\frac{F_{\rm atrito}}{M} = -\mu\,g,
ao mesmo tempo em que produz um torque \tau = F_{\rm atrito}\,R que acelera o giro com
\alpha = \frac{\tau}{I} = \frac{\mu\,M\,g\,R}{\tfrac{2}{3}M\,R^2} = \frac{3\,\mu\,g}{2\,R}.

Passo 3

Integramos as equações do movimento de translação e rotação desde t=0 até o instante t:
v(t) = v_0 - \mu\,g\,t,
\omega(t) = 0 + \alpha\,t = \frac{3\,\mu\,g}{2\,R}\;t.

Passo 4

O deslizamento cessa quando passa a valer a condição de rolamento sem escorregamento, isto é
v(t) = \omega(t)\,R.
Substituindo v(t) e \omega(t)\,R obtemos
v_0 - \mu\,g\,t = \frac{3\,\mu\,g}{2\,R}\,t \;R = \frac{3}{2}\,\mu\,g\,t \quad\Longrightarrow\quad v_0 = \frac{5}{2}\,\mu\,g\,t,
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t_{\rm rol} = \frac{2\,v_0}{5\,\mu\,g}.

Passo 5

Substituindo t_{\rm rol} em v(t), obtemos
v_{\rm rol} = v_0 - \mu\,g\,\frac{2\,v_0}{5\,\mu\,g} = v_0 - \frac{2}{5}\,v_0 = \frac{3}{5}\,v_0.

Resposta

v = \frac{3}{5}\,v_{0}.

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