(IFSP- Congonhas-2024) Uma esfera oca de massa
e raio
é lançada em uma superfície perfeitamente horizontal, sem girar, com velocidade inicial vo. Sabendo que é o coeficiente de atrito cinético entre a esfera e a superfície e que o momento de inércia de uma casca esférica em torno de um eixo contendo o seu centro de massa é
, determine a velocidade desta esfera no exato momento em que o deslizamento cessa.
Passo 1
O enunciado diz que temos uma casca esférica de massa
e raio
lançada sem giro com velocidade inicial
sobre uma superfície horizontal com coeficiente de atrito cinético
. O momento de inércia em relação ao centro é
Queremos achar a velocidade
do centro de massa no instante em que a esfera para de deslizar e passa a rolar sem deslizamento.
Passo 2
Enquanto desliza, a força de atrito cinético tem intensidade
e age para desacelerar a translação, gerando uma aceleração
ao mesmo tempo em que produz um torque
que acelera o giro com
Passo 3
Integramos as equações do movimento de translação e rotação desde
até o instante
:
Passo 4
O deslizamento cessa quando passa a valer a condição de rolamento sem escorregamento, isto é
Substituindo
e
obtemos
logo
Passo 5
Substituindo
em
, obtemos