Uma esfera oca, de um certo material, flutua quase totalmente submersa em água. O diâmetro externo é 50,0 \mathrm{~cm} e o diâmetro interno é 40 cm . Considerando a massa específica da água igual a 1 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}, determinar a massa específica da esfera.

Passo 1

O enunciado dá uma esfera oca de material desconhecido, com diâmetro externo de 50{,}0\\ \mathrm{cm} e diâmetro interno de 40{,}0\\ \mathrm{cm}, que flutua quase totalmente submersa em água de densidade \rho_{\text{água}}=1\\ \mathrm{g/cm^{3}}á. O conteúdo é o Princípio de Arquimedes: em equilíbrio de flutuação, o peso da esfera iguala o empuxo exercido pela água.

Passo 2

O peso da esfera é
P = m_{\text{esfera}}\,g = \rho_{\text{esfera}}\,V_{\text{material}}\,g,
onde V_{\text{material}} é o volume de material da casca. O empuxo vale
E = \rho_{\text{água}}\,V_{\text{submerso}}\,g.á
Como a esfera flutua quase totalmente submersa, tomamos V_{\text{submerso}}\approx V_{\text{externo}}. No equilíbrio P=E.

Passo 3

Chamando R_e e R_i os raios externo e interno, temos
R_e = \frac{50{,}0}{2}=25{,}0\\ \mathrm{cm}, \quad R_i = \frac{40{,}0}{2}=20{,}0\\ \mathrm{cm}.
O volume externo é
V_{\text{externo}} = \frac{4}{3}\pi R_e^3,
o volume interno (vazio) é
V_{\text{interno}} = \frac{4}{3}\pi R_i^3,
logo o volume de material é
V_{\text{material}} = V_{\text{externo}} - V_{\text{interno}}.

Passo 4

Da igualdade P=E vem
\rho_{\text{esfera}}\,\bigl(V_{\text{externo}}-V_{\text{interno}}\bigr)\,g = \rho_{\text{água}}\,V_{\text{externo}}\,g \quad\Longrightarrow\quad \rho_{\text{esfera}} = \rho_{\text{água}} \, \frac{V_{\text{externo}}}{V_{\text{externo}}-V_{\text{interno}}}.áá

Passo 5

Substituindo os volumes com R_e=25\\ \mathrm{cm} e R_i=20\\ \mathrm{cm}:
\frac{V_{\text{externo}}}{V_{\text{externo}}-V_{\text{interno}}} = \frac{R_e^3}{R_e^3 - R_i^3} = \frac{25^3}{25^3 - 20^3} = \frac{15625}{15625 - 8000} = \frac{15625}{7625} = \frac{125}{61} \approx 2{,}049.
Como \rho_{\text{água}}=1\\ \mathrm{g/cm^3}á, concluímos
\rho_{\text{esfera}} \approx 1 \times 2{,}049 = 2{,}05\\ \mathrm{g/cm^3}.

Resposta

A densidade da esfera é aproximadamente 2{,}05\\ \mathrm{g/cm^3}.

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