(IGEDUC-2023) Dados
e
dois números reais tais que
Realizando operações fundamentais (adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação ou radiciação), é correto afirmar que o valor de
corresponde a um valor inteiro maior que 39.
(A) Verdadeiro
(B) Falso
(A) Verdadeiro
(B) Falso
Passo 1
O enunciado nos dá a equação
com
e
reais, e pergunta se, a partir disso e de operações fundamentais, o valor de
corresponde a um número inteiro maior que 39. Ou seja: determinar
e
(se possível) e calcular
, então verificar se é inteiro e se é
.
Passo 2
Vamos transformar a equação dada por completamento de quadrados — uma técnica que serve para reescrever uma expressão quadrática em termos de um quadrado perfeito mais um constante. Regra prática: para completar o quadrado em
, escreve-se
Aqui, para
temos
, e para
temos
. Aplicando essa ideia separadamente aos termos em
e em
.
Passo 3
Completo os quadrados na equação original:
Substituindo na equação original:
Agora somamos as constantes
. Como
e
, obtemos:
Passo 4
Explico um ponto importante sobre quadrados de números reais: para qualquer real
vale
. Portanto a soma de dois quadrados reais só pode ser zero se cada quadrado for zero. Assim, da igualdade
segue que
Logo
Portanto há uma única solução real para o par
:
.
Passo 5
Agora calculo o valor pedido substituindo
e
em
:
Calculo cada termo:
Somando:
Portanto
.
Passo 6
Interpretação final: o valor encontrado é
, que é um inteiro, mas
não é maior que
. Logo a afirmação “corresponde a um valor inteiro maior que 39” é falsa.
Resposta
(B) Falso