(IGEDUC-2023) Dados x e y dois números reais tais que
x^{2}+y^{2}+8 x-14 y+65=0
Realizando operações fundamentais (adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação ou radiciação), é correto afirmar que o valor de
x^{2}+x y+y^{2}
corresponde a um valor inteiro maior que 39.
(A) Verdadeiro
(B) Falso

Passo 1

O enunciado nos dá a equação
x^{2}+y^{2}+8x-14y+65=0
com x e y reais, e pergunta se, a partir disso e de operações fundamentais, o valor de
x^{2}+xy+y^{2}
corresponde a um número inteiro maior que 39. Ou seja: determinar x e y (se possível) e calcular x^{2}+xy+y^{2}, então verificar se é inteiro e se é >39.

Passo 2

Vamos transformar a equação dada por completamento de quadrados — uma técnica que serve para reescrever uma expressão quadrática em termos de um quadrado perfeito mais um constante. Regra prática: para completar o quadrado em x^{2}+bx, escreve-se
x^{2}+bx = \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} - \left(\frac{b}{2}\right)^{2}.
Aqui, para x temos b=8, e para y temos b=-14. Aplicando essa ideia separadamente aos termos em x e em y.

Passo 3

Completo os quadrados na equação original:
x^{2}+8x = \left(x+4\right)^{2}-16,
y^{2}-14y = \left(y-7\right)^{2}-49.
Substituindo na equação original:
\left(x+4\right)^{2}-16 + \left(y-7\right)^{2}-49 + 65 = 0.
Agora somamos as constantes -16-49+65. Como -16-49=-65 e -65+65=0, obtemos:
\left(x+4\right)^{2} + \left(y-7\right)^{2} = 0.

Passo 4

Explico um ponto importante sobre quadrados de números reais: para qualquer real t vale t^{2}\ge 0. Portanto a soma de dois quadrados reais só pode ser zero se cada quadrado for zero. Assim, da igualdade
\left(x+4\right)^{2} + \left(y-7\right)^{2} = 0
segue que
\left(x+4\right)^{2}=0 \quad\text{e}\quad \left(y-7\right)^{2}=0.
Logo
x+4=0\quad\Rightarrow\quad x=-4,
y-7=0\quad\Rightarrow\quad y=7.
Portanto há uma única solução real para o par (x,y): (x,y)=(-4,7).

Passo 5

Agora calculo o valor pedido substituindo x=-4 e y=7 em \,x^{2}+xy+y^{2}\,:
x^{2}+xy+y^{2}=(-4)^{2}+(-4)\cdot 7 + 7^{2}.
Calculo cada termo:
(-4)^{2}=16,\qquad (-4)\cdot 7=-28,\qquad 7^{2}=49.
Somando:
16 + (-28) + 49 = 16 -28 +49 = (16+49)-28 = 65-28 = 37.
Portanto x^{2}+xy+y^{2}=37.

Passo 6

Interpretação final: o valor encontrado é 37, que é um inteiro, mas 37 não é maior que 39. Logo a afirmação “corresponde a um valor inteiro maior que 39” é falsa.

Resposta

(B) Falso

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