(CEBRASPE-2021) Considere que
e
sejam dois números naturais maiores que 1 , de modo que o número
seja um número positivo cujos únicos divisores são 1 e o próprio número. Com base nessas informações, conclui-se que
é sucessor de
.
(A) Verdadeiro
(B) Falso
(A) Verdadeiro
(B) Falso
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
-
e são números naturais maiores que (ou seja, e quando ). - O número
é um número positivo cujos únicos divisores são e ele mesmo (ou seja, é primo).
A pergunta é: a partir disso, pode-se concluir queé sucessor de (ou seja, )? (Responder Verdadeiro ou Falso.)
Passo 2
Uma identidade algébrica útil aqui é a fatoração da diferença de cubos. Vamos escrevê-la:
Explicando rapidinho: a diferença de cubos sempre se fatoriza nesse produto; basta verificar desenvolvendo o produto à direita para recuperar
.
Passo 3
Como
é primo e é igual a um produto de dois inteiros positivos
e
, vale a propriedade básica dos primos: se um primo
é produto de dois inteiros positivos, então um dos fatores deve ser
e o outro deve ser
. Assim, ou
ou
Passo 4
Mostrar que a segunda possibilidade é impossível, ou seja, que
Como
e
, temos
. Portanto
Para
obtemos
Logo
. Assim a hipótese
é impossível.
Passo 5
Como o fator
não pode ser
, na fatoração do número primo
o único fator que pode ser
é
. Logo necessariamente
portanto
ou seja,
é sucessor de
.
Resposta
(A) Verdadeiro