(CEBRASPE-2021) Considere que x e y sejam dois números naturais maiores que 1 , de modo que o número x^{3}-y^{3} seja um número positivo cujos únicos divisores são 1 e o próprio número. Com base nessas informações, conclui-se que x é sucessor de y.
(A) Verdadeiro
(B) Falso

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • x e y são números naturais maiores que 1 (ou seja, x,y\in\mathbb{N} e x\ge y\ge2 quando x^3-y^3>0).
  • O número x^{3}-y^{3} é um número positivo cujos únicos divisores são 1 e ele mesmo (ou seja, x^{3}-y^{3} é primo).
    A pergunta é: a partir disso, pode-se concluir que x é sucessor de y (ou seja, x=y+1)? (Responder Verdadeiro ou Falso.)

Passo 2

Uma identidade algébrica útil aqui é a fatoração da diferença de cubos. Vamos escrevê-la:
x^{3}-y^{3}=(x-y)\bigl(x^{2}+xy+y^{2}\bigr).
Explicando rapidinho: a diferença de cubos sempre se fatoriza nesse produto; basta verificar desenvolvendo o produto à direita para recuperar x^3-y^3.

Passo 3

Como x^{3}-y^{3} é primo e é igual a um produto de dois inteiros positivos (x-y) e \bigl(x^{2}+xy+y^{2}\bigr), vale a propriedade básica dos primos: se um primo p é produto de dois inteiros positivos, então um dos fatores deve ser 1 e o outro deve ser p. Assim, ou
x-y=1\quad\text{e}\quad x^{2}+xy+y^{2}=x^{3}-y^{3},
ou
x-y=x^{3}-y^{3}\quad\text{e}\quad x^{2}+xy+y^{2}=1.

Passo 4

Mostrar que a segunda possibilidade é impossível, ou seja, que
x^{2}+xy+y^{2}>1.
Como x>y e y\ge2, temos x\ge y+1. Portanto
x^{2}+xy+y^{2}\ge (y+1)^{2}+y(y+1)+y^{2}=3y^{2}+3y+1.
Para y\ge2 obtemos
3y^{2}+3y+1\ge 3\cdot 2^{2}+3\cdot 2+1=12+6+1=19.
Logo x^{2}+xy+y^{2}\ge19>1. Assim a hipótese x^{2}+xy+y^{2}=1 é impossível.

Passo 5

Como o fator x^{2}+xy+y^{2} não pode ser 1, na fatoração do número primo x^{3}-y^{3} o único fator que pode ser 1 é x-y. Logo necessariamente
x-y=1,
portanto
x=y+1,
ou seja, x é sucessor de y.

Resposta

(A) Verdadeiro

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