(CEBRASPE-2019) Se a, b e c forem números reais tais que 2 a^{2}-a b+3 a c \neq 0, então
\frac{4 a b-2 b^{2}+6 b c}{2 a^{2}-a b+3 a c}=\frac{2 b}{a}
(A) Verdadeiro
(B) Falso

Passo 1

O enunciado dá que a,b,c são números reais tais que
2a^{2}-ab+3ac \neq 0.
A afirmação a ser verificada é se vale a igualdade
\frac{4ab-2b^{2}+6bc}{2a^{2}-ab+3ac}=\frac{2b}{a}.
Ou seja, preciso decidir se essa igualdade é verdadeira para todos os a,b,c reais que satisfazem a condição dada.

Passo 2

Vou olhar a expressão no numerador e no denominador e tentar fatorar termos comuns (isso é uma técnica simples e muito útil: quando aparece um polinômio com termos parecidos, tente fatorar fator comum).
Observe o numerador:
4ab-2b^{2}+6bc.
Posso fatorar 2b em evidência porque cada termo tem b e um fator 2:
4ab-2b^{2}+6bc = 2b(2a-b+3c).

Passo 3

Agora o denominador:
2a^{2}-ab+3ac.
Posso fatorar a em evidência porque cada termo tem fator a:
2a^{2}-ab+3ac = a(2a-b+3c).

Passo 4

Substituindo as fatorações na fração original, obtemos
\frac{4ab-2b^{2}+6bc}{2a^{2}-ab+3ac} = \frac{2b(2a-b+3c)}{a(2a-b+3c)}.
Para simplificar uma fração \dfrac{X\cdot Y}{Z\cdot Y} e cancelar o fator comum Y é necessário que Y\neq0. Aqui o fator comum é 2a-b+3c. Pela hipótese do enunciado sabemos que
2a^{2}-ab+3ac \neq 0,
e como 2a^{2}-ab+3ac = a(2a-b+3c), disso segue que o produto a(2a-b+3c) é não nulo; portanto nem a nem 2a-b+3c podem ser zero. Em particular a\neq0 e 2a-b+3c\neq0. Assim o cancelamento é válido.

Passo 5

Cancelando 2a-b+3c na expressão, obtemos
\frac{2b(2a-b+3c)}{a(2a-b+3c)}=\frac{2b}{a}.
Portanto, sob a hipótese dada, a igualdade é verdadeira.

Passo 6

Comentário final e verificação alternativa rápida: poderia também multiplicar em cruz e verificar que ambos os lados levam à mesma expressão:
a(4ab-2b^{2}+6bc)=2b(2a^{2}-ab+3ac),
e expandindo ambos os lados obtém-se 4a^{2}b-2ab^{2}+6abc em ambos, confirmando a identidade. Mas a fatoração e cancelamento foi mais direto e mostra por que o resultado é exatamente \dfrac{2b}{a}.

Resposta

(A) Verdadeiro

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