(CEBRASPE-2019) Se
e
forem números reais tais que
, então
(A) Verdadeiro
(B) Falso
(B) Falso
Passo 1
O enunciado dá que
são números reais tais que
A afirmação a ser verificada é se vale a igualdade
Ou seja, preciso decidir se essa igualdade é verdadeira para todos os
reais que satisfazem a condição dada.
Passo 2
Vou olhar a expressão no numerador e no denominador e tentar fatorar termos comuns (isso é uma técnica simples e muito útil: quando aparece um polinômio com termos parecidos, tente fatorar fator comum).
Observe o numerador:
Observe o numerador:
Posso fatorar
em evidência porque cada termo tem
e um fator
:
Passo 3
Agora o denominador:
Posso fatorar
em evidência porque cada termo tem fator
:
Passo 4
Substituindo as fatorações na fração original, obtemos
Para simplificar uma fração
e cancelar o fator comum
é necessário que
. Aqui o fator comum é
. Pela hipótese do enunciado sabemos que
e como
, disso segue que o produto
é não nulo; portanto nem
nem
podem ser zero. Em particular
e
. Assim o cancelamento é válido.
Passo 5
Cancelando
na expressão, obtemos
Portanto, sob a hipótese dada, a igualdade é verdadeira.
Passo 6
Comentário final e verificação alternativa rápida: poderia também multiplicar em cruz e verificar que ambos os lados levam à mesma expressão:
e expandindo ambos os lados obtém-se
em ambos, confirmando a identidade. Mas a fatoração e cancelamento foi mais direto e mostra por que o resultado é exatamente
.
Resposta
(A) Verdadeiro