III. Derivadas
Calcule f^{\prime}(x) para as funções f abaixo:
f(x)=\frac{2 x}{(x+\sqrt{x})^{\frac{1}{3}}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de
f(x)=\frac{2x}{(x+\sqrt{x})^{1/3}}.
O conteúdo usado será regra do produto e regra da cadeia, pois podemos reescrever f como produto de funções.

Passo 2

Reescrevendo
f(x)=2x\,(x+\sqrt{x})^{-1/3},
aplicamos a regra do produto:
f'(x)=\bigl(2x\bigr)'\,(x+\sqrt{x})^{-1/3}+2x\;\frac{d}{dx}\bigl[(x+\sqrt{x})^{-1/3}\bigr].

Passo 3

Calculamos cada termo. Primeiro,
\bigl(2x\bigr)'=2,
logo o primeiro termo é
2\,(x+\sqrt{x})^{-1/3}.
Para o segundo, usamos regra da cadeia em (x+\sqrt{x})^{-1/3}:
\frac{d}{dx}\bigl[(x+\sqrt{x})^{-1/3}\bigr] =-\tfrac{1}{3}(x+\sqrt{x})^{-4/3}\,\bigl(1+\tfrac{1}{2\sqrt{x}}\bigr).
Assim
f'(x) =2\,(x+\sqrt{x})^{-1/3} -\frac{2x}{3}\,(x+\sqrt{x})^{-4/3}\Bigl(1+\frac{1}{2\sqrt{x}}\Bigr).

Passo 4

Fatoramos (x+\sqrt{x})^{-4/3}:
f'(x) =(x+\sqrt{x})^{-4/3}\Bigl[2(x+\sqrt{x}) -\tfrac{2x}{3}\bigl(1+\tfrac{1}{2\sqrt{x}}\bigr)\Bigr].
No colchete temos
2(x+\sqrt{x})=2x+2\sqrt{x}, \quad \tfrac{2x}{3}\bigl(1+\tfrac{1}{2\sqrt{x}}\bigr) =\tfrac{2x}{3}+\tfrac{x}{3\sqrt{x}},
e
2x-\tfrac{2x}{3}=\tfrac{4x}{3}, \quad 2\sqrt{x}-\tfrac{x}{3\sqrt{x}} =\tfrac{6\sqrt{x}-\sqrt{x}}{3} =\tfrac{5\sqrt{x}}{3}.
Logo o colchete vira \tfrac{1}{3}(4x+5\sqrt{x}).

Passo 5

Substituindo na expressão fatorada, obtemos
f'(x) =\frac{1}{3}(4x+5\sqrt{x})\,(x+\sqrt{x})^{-4/3}.

Resposta

f'(x)=\frac{4x+5\sqrt{x}}{3\,(x+\sqrt{x})^{4/3}}.

Exercícios relacionados