III. Derivadas
Calcule f^{\prime}(x) para as funções f abaixo:
f(x)=x \operatorname{sen}\left(\sqrt{x^{5}}-x^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=x\sin\bigl(\sqrt{x^{5}}-x^{2}\bigr).
O conteúdo aqui é a regra do produto combinada com a regra da cadeia.

Passo 2

Definimos
u(x)=x \quad\text{e}\quad v(x)=\sin\bigl(w(x)\bigr),
onde
w(x)=\sqrt{x^{5}}-x^{2}.
Assim, f(x)=u(x)\,v(x) e usaremos f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).

Passo 3

Calculamos primeiro
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x\bigr)=1.
Para v'(x) aplicamos a regra da cadeia:
v'(x)=\cos\bigl(w(x)\bigr)\cdot w'(x).

Passo 4

Agora derivamos
w(x)=\bigl(x^{5}\bigr)^{1/2}-x^{2}.
A derivada de \sqrt{x^{5}}=(x^{5})^{1/2} é
\frac{1}{2}(x^{5})^{-1/2}\cdot5x^{4} =\frac{5}{2}\,\frac{x^{4}}{\sqrt{x^{5}}} =\frac{5}{2}x^{3/2},
e a derivada de -x^{2} é -2x. Logo,
w'(x)=\frac{5}{2}x^{3/2}-2x.

Passo 5

Substituindo em f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x), temos
f'(x) =\underbrace{1}_{u'(x)}\sin\bigl(w(x)\bigr) + x\bigl[\cos\bigl(w(x)\bigr)\cdot w'(x)\bigr].

Passo 6

Voltando a w(x)=\sqrt{x^{5}}-x^{2} e w'(x)=\tfrac{5}{2}x^{3/2}-2x, obtemos a forma final:
f'(x) =\sin\bigl(\sqrt{x^{5}}-x^{2}\bigr) + x\cos\bigl(\sqrt{x^{5}}-x^{2}\bigr)\,\Bigl(\tfrac{5}{2}x^{3/2}-2x\Bigr).

Resposta

f'(x) =\sin\bigl(\sqrt{x^{5}}-x^{2}\bigr) + x\cos\bigl(\sqrt{x^{5}}-x^{2}\bigr)\,\Bigl(\tfrac{5}{2}x^{3/2}-2x\Bigr).

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