III. Derivadas
Calcule f^{\prime}(x) para as funções f abaixo:
f(x)=x \operatorname{sen} x \cos x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x) = x \,\operatorname{sen} x \,\cos x.
O conteúdo revisado aqui é a regra do produto e uma identidade trigonométrica. Vamos usar a identidade
\operatorname{sen} x\,\cos x = \tfrac{1}{2}\operatorname{sen}(2x)
para simplificar antes de derivar.

Passo 2

Usando a identidade, reescrevemos f como produto de duas funções mais simples:
f(x) = x \,\operatorname{sen} x \,\cos x = x \cdot \frac{1}{2}\operatorname{sen}(2x) = \frac{x}{2}\,\operatorname{sen}(2x).

Passo 3

Agora aplicamos a regra do produto a
\displaystyle g(x)=\frac{x}{2}
e
\displaystyle h(x)=\operatorname{sen}(2x).
Temos
g'(x) = \frac{1}{2}, \qquad h'(x) = \cos(2x)\cdot 2 = 2\cos(2x).
Logo,
f'(x) = g'(x)\,h(x) + g(x)\,h'(x) = \frac{1}{2}\operatorname{sen}(2x) + \frac{x}{2}\cdot 2\cos(2x).

Passo 4

Simplificando os termos:
f'(x) = \frac{1}{2}\operatorname{sen}(2x) + x\,\cos(2x).
Se quisermos voltar à forma em \operatorname{sen} x e \cos x, usamos \operatorname{sen}(2x)=2\operatorname{sen} x\cos x e \cos(2x)=\cos^2x-\operatorname{sen}^2x, obtendo
f'(x) = \operatorname{sen} x\,\cos x + x\bigl(\cos^2x - \operatorname{sen}^2x\bigr).

Resposta

\boxed{f'(x) = \frac{1}{2}\operatorname{sen}(2x) + x\,\cos(2x)}
ou equivalentemente
\boxed{f'(x) = \operatorname{sen} x\,\cos x + x\bigl(\cos^2x - \operatorname{sen}^2x\bigr)}.

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