III. Derivadas
Calcule f^{\prime}(x) para as funções f abaixo:
f(x)=\sqrt[6]{x \operatorname{tg}^{2} x}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\sqrt[6]{x\,\tan^2 x}
ou seja, calcular f'(x). O conteúdo principal aqui é usar a regra da cadeia para funções da forma u(x)^{n} e a regra do produto para derivar x\tan^2 x.

Passo 2

Escrevemos a função em potência para aplicar a regra da cadeia:
f(x)=\bigl(x\,\tan^2 x\bigr)^{\tfrac{1}{6}}.

Passo 3

Aplicamos a regra da cadeia. Se f(x)=[h(x)]^{1/6}, então
f'(x)=\frac{1}{6}\,[h(x)]^{\tfrac{1}{6}-1}\,\cdot h'(x) =\frac{1}{6}\,\bigl(x\tan^2 x\bigr)^{-\tfrac{5}{6}}\,h'(x).

Passo 4

Agora derivamos h(x)=x\tan^2 x usando a regra do produto. Seja u(x)=x e v(x)=\tan^2 x. Então
h'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x) =1\cdot\tan^2 x + x\cdot\frac{d}{dx}(\tan^2 x).
Como \frac{d}{dx}(\tan^2 x)=2\tan x\operatorname{sec}^2 x, temos
h'(x)=\tan^2 x+2x\,\tan x\,\operatorname{sec}^2 x.

Passo 5

Substituindo h'(x) em f'(x), obtemos
f'(x) =\frac{1}{6}\,\bigl(x\tan^2 x\bigr)^{-\tfrac{5}{6}} \bigl(\tan^2 x+2x\,\tan x\,\operatorname{sec}^2 x\bigr).

Resposta

f'(x) =\frac{1}{6}\,\bigl(x\tan^2 x\bigr)^{-\tfrac{5}{6}} \bigl(\tan^2 x+2x\,\tan x\,\operatorname{sec}^2 x\bigr).

Exercícios relacionados