III. Derivadas
Calcule f^{\prime}(x) para as funções f abaixo:
f(x)=\frac{x^{2} \operatorname{tg}\left(x^{3}-x^{2}\right)}{\operatorname{sec} x}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\frac{x^{2}\,\operatorname{tg}\bigl(x^{3}-x^{2}\bigr)}{\operatorname{sec} x}.
Isso envolve regras de derivação de produto, cadeia e simplificação de quociente de funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro simplificamos a divisão por \operatorname{sec} x, já que \frac1{\operatorname{sec} x}=\cos x. Logo,
f(x)=x^{2}\,\operatorname{tg}\bigl(x^{3}-x^{2}\bigr)\,\cos x.

Passo 3

Para derivar usamos a regra do produto com três fatores:
u(x)=x^{2},\quad v(x)=\operatorname{tg}\bigl(g(x)\bigr),\quad w(x)=\cos x,
onde definimos
g(x)=x^{3}-x^{2}.

Passo 4

A regra do produto para três fatores é
(f_1f_2f_3)'=f_1' f_2 f_3 + f_1 f_2' f_3 + f_1 f_2 f_3'.
Aplicando a u, v e w, teremos
f'(x)=u'(x)\,v(x)\,w(x)\;+\;u(x)\,v'(x)\,w(x)\;+\;u(x)\,v(x)\,w'(x).

Passo 5

Calculamos cada derivada:
  1. u'(x)=2x.
  2. Para v(x)=\operatorname{tg}(g(x)), a regra da cadeia dá
v'(x)=\operatorname{sec}^{2}\bigl(g(x)\bigr)\,g'(x),
e
g'(x)=3x^{2}-2x.
  1. w'(x)=\frac{d}{dx}\cos x=-\sin x.

Passo 6

Substituindo em
f'(x)=2x\;\operatorname{tg}\bigl(g(x)\bigr)\;\cos x \;+\;x^{2}\;\operatorname{sec}^{2}\bigl(g(x)\bigr)\,(3x^{2}-2x)\;\cos x \;+\;x^{2}\;\operatorname{tg}\bigl(g(x)\bigr)\;(-\sin x),
e retornando g(x)=x^{3}-x^{2}, obtemos
f'(x) =2x\,\operatorname{tg}(x^{3}-x^{2})\cos x +x^{2}\,\operatorname{sec}^{2}(x^{3}-x^{2})\,(3x^{2}-2x)\cos x -x^{2}\,\operatorname{tg}(x^{3}-x^{2})\sin x.

Resposta

f'(x) =2x\,\operatorname{tg}(x^{3}-x^{2})\cos x +x^{2}\,\operatorname{sec}^{2}(x^{3}-x^{2})\,(3x^{2}-2x)\cos x -x^{2}\,\operatorname{tg}(x^{3}-x^{2})\sin x.

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