Sabe-se que f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} é uma função derivável em \mathbb{R} e que a reta tangente ao gráfico de f no ponto de abscissa 3 é x+2 y=6. Seja g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} dada por g(x)=(f(\sqrt{9+4 x}))^{2}. Determine g^{\prime}(0). Resp.: -1 .
17. Mostre que qualquer par de retas tangentes à parábola y=a x^{2}(a \neq 0) tem como intersecção um ponto que está numa reta vertical que passa pelo ponto médio do segmento que une os pontos de tangência destas retas.
18. Seja y=f(x) uma função dada implicitamente pela equação x^{2}=y^{3}(2-y). Admitindo f derivável, determine a reta tangente ao gráfico de f no ponto (1,1).

Passo 1

O enunciado dá uma função derivável f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} cuja reta tangente no ponto de abscissa 3 é
x + 2y = 6
e define
g(x) = \bigl(f\bigl(\sqrt{9+4x}\bigr)\bigr)^{2}.
Queremos g'(0). O conteúdo principal aqui é a regra da cadeia combinada com a informação sobre a reta tangente de f.

Passo 2

Da equação da reta tangente temos
2y = 6 - x \quad\Longrightarrow\quad y = 3 - \frac{x}{2}.
Em particular, no ponto x=3:
f(3) = y(3) = 3 - \frac{3}{2} = \frac{3}{2},
e a inclinação (derivada) é
f'(3) = \frac{dy}{dx} = -\frac12.

Passo 3

Defina a função interna
h(x) = \sqrt{9 + 4x}.
Então g(x) = \bigl(f(h(x))\bigr)^{2}. Calculamos
h'(x) = \frac{1}{2\sqrt{9+4x}}\cdot 4 = \frac{2}{\sqrt{9+4x}},
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h'(0) = \frac{2}{\sqrt{9}} = \frac{2}{3}.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia em g(x)=\bigl(f(h(x))\bigr)^2, obtemos
g'(x) = 2\,f(h(x))\;\bigl[f'(h(x))\bigr]\;h'(x).
Em x=0 isso vale
g'(0) = 2\,f(3)\;f'(3)\;h'(0) = 2\cdot\frac{3}{2}\cdot\Bigl(-\frac12\Bigr)\cdot\frac{2}{3}.
Fazendo as cancelas:
2\cdot\frac{3}{2} = 3, \quad 3\cdot\frac{2}{3} = 2, \quad 2\cdot\Bigl(-\frac12\Bigr) = -1.

Resposta

-1

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