III. 6 Lista 4 de Exercícios - Séries de Fourier.

Calcule as integrais abaixo.
\int x^{2} \operatorname{sen} 2 x d x.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int x^{2}\sin(2x)\,dx.
O conteúdo principal é integração por partes, que vamos aplicar duas vezes.

Passo 2

Primeira aplicação de integração por partes. Escolhemos
u = x^{2},\quad dv = \sin(2x)\,dx.
Daí
du = 2x\,dx, \qquad v = \int \sin(2x)\,dx = -\tfrac{1}{2}\cos(2x).
Pela fórmula
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du
obtemos
\int x^{2}\sin(2x)\,dx = x^{2}\bigl(-\tfrac{1}{2}\cos(2x)\bigr) - \int \Bigl(-\tfrac{1}{2}\cos(2x)\Bigr)\,(2x\,dx).
Isso simplifica para
\int x^{2}\sin(2x)\,dx = -\tfrac{x^{2}}{2}\cos(2x) + \int x\cos(2x)\,dx.

Passo 3

Agora precisamos calcular
I_{1} = \int x\cos(2x)\,dx.
Aplicamos integração por partes novamente, escolhendo
u = x,\quad dv = \cos(2x)\,dx \quad\Longrightarrow\quad du = dx,\quad v = \int \cos(2x)\,dx = \tfrac{1}{2}\sin(2x).
Logo
I_{1} = x\!\cdot\!\tfrac{1}{2}\sin(2x) - \int \tfrac{1}{2}\sin(2x)\,dx = \tfrac{x}{2}\sin(2x) - \tfrac{1}{2}\Bigl(-\tfrac{1}{2}\cos(2x)\Bigr) = \tfrac{x}{2}\sin(2x) + \tfrac{1}{4}\cos(2x).

Passo 4

Substituindo I_{1} na expressão original:
\int x^{2}\sin(2x)\,dx = -\tfrac{x^{2}}{2}\cos(2x) + \Bigl(\tfrac{x}{2}\sin(2x) + \tfrac{1}{4}\cos(2x)\Bigr) + C.
Agrupando termos em \cos(2x),
\int x^{2}\sin(2x)\,dx = \tfrac{x}{2}\sin(2x) + \Bigl(\tfrac{1}{4}-\tfrac{x^{2}}{2}\Bigr)\cos(2x) + C.

Resposta

\boxed{ \int x^{2}\sin(2x)\,dx = \tfrac{x}{2}\sin(2x) + \bigl(\tfrac{1}{4}-\tfrac{x^{2}}{2}\bigr)\cos(2x) + C }.

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