III. 6 Lista 4 de Exercícios - Séries de Fourier.

Verifique se as funções abaixo são contínuas por pedaços e se forem calcule \int_{-1}^{1} f(x) d x para
f(x)=\left\{\begin{array}{lll}x & \text { se } & x>0 \\\\ 0 & \text { se } & x \leq 0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= \begin{cases} x,& x>0,\\\\ 0,& x\le 0, \end{cases}
em [-1,1]. Pede para verificarmos se f é contínua por pedaços (isto é, contínua em cada intervalo onde está definida sem quebra) e, em caso afirmativo, calcular
\int_{-1}^{1}f(x)\,dx.
Vamos precisar do conceito de continuidade em intervalos e do cálculo de integrais definidas por “quebra” em subintervalos.

Passo 2

Verificamos a continuidade de f em cada parte do domínio:
  1. Em (-1,0), temos f(x)=0, que é contínua pois é constante.
  2. Em (0,1), temos f(x)=x, que é contínua pois é polinomial.
  3. No ponto de transição x=0, calculamos os limites laterais:
    \lim_{x\to0^-}f(x)=0 e \lim_{x\to0^+)f(x)=0, e como f(0)=0, f é contínua em x=0.

Passo 3

Como f é contínua em (-1,0), em (0,1) e também em x=0, ela é contínua em todo [-1,1] e, portanto, contínua por pedaços.

Passo 4

Para calcular
\int_{-1}^{1}f(x)\,dx
dividimos em dois trechos onde a definição muda:
\int_{-1}^{1}f(x)\,dx =\int_{-1}^{0}0\,dx+\int_{0}^{1}x\,dx.
A primeira parte vale zero. Na segunda,
\int_{0}^{1}x\,dx =\left[\frac{x^2}{2}\right]_{0}^{1} =\frac{1^2}{2}-0 =\frac12.

Resposta

A função f é contínua por pedaços em [-1,1] e
\int_{-1}^{1}f(x)\,dx = \frac12.

Exercícios relacionados