Supondo que as funções abaixo sejam 2 \pi\) - periódicas, calcule a série de Fourier de cada uma delas :
\(f(x)=\left\{\begin{array}{ll}1, & \text { se } x \in[-\pi, 0] \\\\ 0, & \text { se } x \in[0, \pi] ;\end{array} \quad h\right) f(x)= \begin{cases}\operatorname{sen} x, & \text { se } x \in[-\pi, 0] \\\\ 0, & \text { se } x \in[0, \pi] ;\end{cases}
Passo 1
O enunciado pede para obter as séries de Fourier, em série de senos e cossenos, de duas funções 2\pi\)-periódicas definidas em um período \([-\pi,\pi]\):
– Primeira função:
\[f_{1}(x)= \begin{cases} 1,&x\in[-\pi,0],\\\\ 0,&x\in[0,\pi]. \end{cases}
Série de Fourier de f_{2}(x)\):
1. Cálculo de \(a_{0}\):
\[a_{0} =\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{0}\sin x\,\mathrm{d}x =\frac{1}{\pi}\bigl[-\cos x\bigr]_{-\pi}^{0} =\frac{1}{\pi}\bigl(-1+(-1)\bigr) =-\frac{2}{\pi},
logo \tfrac{a_{0}}{2}=-\tfrac{1}{\pi}.
2. Cálculo de a_{n} para n\ge1 usando a identidade \sin x\cos(nx)=\tfrac12[\sin((n+1)x)+\sin((1-n)x)]: