Verifique se as funções abaixo são contínuas por pedaços e se forem calcule \int_{-1}^{1} f(x) d x para f(x)=\left\{\begin{array}{lll}x & \text { se } & x>0 \\\\ 0 & \text { se } & x \leq 0\end{array}\right.
em [-1,1]. Pede para verificarmos se f é contínua por pedaços (isto é, contínua em cada intervalo onde está definida sem quebra) e, em caso afirmativo, calcular
\int_{-1}^{1}f(x)\,dx.
Vamos precisar do conceito de continuidade em intervalos e do cálculo de integrais definidas por “quebra” em subintervalos.
Passo 2
Verificamos a continuidade de f em cada parte do domínio:
Em (-1,0), temos f(x)=0, que é contínua pois é constante.
Em (0,1), temos f(x)=x, que é contínua pois é polinomial.
No ponto de transição x=0, calculamos os limites laterais: \lim_{x\to0^-}f(x)=0 e \lim_{x\to0^+)f(x)=0, e como f(0)=0, f é contínua em x=0.
Passo 3
Como f é contínua em (-1,0), em (0,1) e também em x=0, ela é contínua em todo [-1,1] e, portanto, contínua por pedaços.