onde está o disco com centro na origem e raio 1
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde
é o disco centrado na origem com raio
. Informações relevantes fornecidas:
- A região de integração
é . - O integrando depende só de
, ou seja, é radial: . - Não há outras restrições; precisamos avaliar a integral sobre todo o disco de raio
.
Passo 2
Observação importante sobre integração em regiões circulares: quando a função é radial (depende apenas de
), é muito conveniente usar coordenadas polares. Vou explicar isso devagarinho.
Coordenadas polares: em vez de usar
, usamos
com as relações
onde
é a distância ao origem e
é o ângulo. A área elementar
em coordenadas polares não é simplesmente
; ela é
Por que aparece esse fator
? Imagine fatias anelares: a área de um anel fino de raio
e espessura
é aproximadamente
; o fator
vem dessa geometria. Em termos técnicos,
é o jacobiano da transformação
.
Passo 3
Aplicando coordenadas polares ao nosso caso:
- Na região
(disco de raio ) temos e . - O integrando
vira . - O elemento de área
vira .
Portanto a integral fica
Passo 4
Integramos primeiro em
(não há
no integrando), então isso só dá um fator
:
Passo 5
Para simplificar a integral em
, faço a substituição simples
Então
, ou seja
. Quando
vai de
a
,
vai de
a
. Substituindo:
Então a integral reduziu-se a uma integral de uma variável:
Passo 6
Agora precisamos calcular
. Importante: a função
não tem primitiva elementar expressável por funções usuais (polinômios, exponenciais, logaritmos, trigonométricas). Mas podemos proceder de forma prática e perfeita para provas:
Usamos a série de Taylor da exponencial:
válida para todo
. Em
essa série converge uniformemente, portanto podemos integrar termo a termo:
A integral de potência é simples:
Portanto
Passo 7
Voltando ao fator
que tínhamos na frente:
Isto é uma expressão exata e bem adequada para a prova. Se quiser uma aproximação numérica, calculemos alguns termos da soma para ver a convergência rápida:
Termos iniciais:
Somando vários termos (até
) obtemos
Multiplicando por
,
Passo 8
Recapitulando: transformamos para polares, usamos
, substituímos
e integrámos a série de
. A resposta exata fica em forma de série bem comportada; a aproximação numérica é dada acima.