\iint_{D} e^{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{4}} d A, D onde está o disco com centro na origem e raio 1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{D} e^{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{4}}\,dA,
onde D é o disco centrado na origem com raio 1. Informações relevantes fornecidas:
  • A região de integração D é \{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le 1\}.
  • O integrando depende só de x^{2}+y^{2}, ou seja, é radial: f(x,y)=e^{(x^{2}+y^{2})^{4}}.
  • Não há outras restrições; precisamos avaliar a integral sobre todo o disco de raio 1.

Passo 2

Observação importante sobre integração em regiões circulares: quando a função é radial (depende apenas de x^{2}+y^{2}), é muito conveniente usar coordenadas polares. Vou explicar isso devagarinho.
Coordenadas polares: em vez de usar (x,y), usamos (r,\theta) com as relações
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
onde r\ge 0 é a distância ao origem e \theta é o ângulo. A área elementar dA em coordenadas polares não é simplesmente dr\,d\theta; ela é
dA = r\,dr\,d\theta.
Por que aparece esse fator r? Imagine fatias anelares: a área de um anel fino de raio r e espessura dr é aproximadamente 2\pi r\,dr; o fator r vem dessa geometria. Em termos técnicos, r é o jacobiano da transformação (r,\theta)\mapsto(x,y).

Passo 3

Aplicando coordenadas polares ao nosso caso:
  • Na região D (disco de raio 1) temos 0\le r\le 1 e 0\le \theta\le 2\pi.
  • O integrando e^{(x^{2}+y^{2})^{4}} vira e^{(r^{2})^{4}}=e^{r^{8}}.
  • O elemento de área dA vira r\,dr\,d\theta.
Portanto a integral fica
\iint_{D} e^{(x^{2}+y^{2})^{4}}\,dA = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} e^{r^{8}}\,r\,dr\,d\theta.

Passo 4

Integramos primeiro em \theta (não há \theta no integrando), então isso só dá um fator 2\pi:
\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} e^{r^{8}}\,r\,dr\,d\theta = 2\pi \int_{0}^{1} e^{r^{8}}\,r\,dr.

Passo 5

Para simplificar a integral em r, faço a substituição simples
u = r^{2}.
Então du = 2r\,dr, ou seja r\,dr = \tfrac{1}{2}du. Quando r vai de 0 a 1, u vai de 0 a 1. Substituindo:
2\pi \int_{0}^{1} e^{r^{8}}\,r\,dr = 2\pi \cdot \frac{1}{2} \int_{0}^{1} e^{u^{4}}\,du = \pi \int_{0}^{1} e^{u^{4}}\,du.
Então a integral reduziu-se a uma integral de uma variável:
\iint_{D} e^{(x^{2}+y^{2})^{4}}\,dA = \pi \int_{0}^{1} e^{u^{4}}\,du.

Passo 6

Agora precisamos calcular \int_{0}^{1} e^{u^{4}}\,du. Importante: a função e^{u^{4}} não tem primitiva elementar expressável por funções usuais (polinômios, exponenciais, logaritmos, trigonométricas). Mas podemos proceder de forma prática e perfeita para provas:
Usamos a série de Taylor da exponencial:
e^{u^{4}} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{u^{4n}}{n!},
válida para todo u. Em [0,1] essa série converge uniformemente, portanto podemos integrar termo a termo:
\int_{0}^{1} e^{u^{4}}\,du = \int_{0}^{1} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{u^{4n}}{n!}\,du = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}\int_{0}^{1} u^{4n}\,du.
A integral de potência é simples:
\int_{0}^{1} u^{4n}\,du = \frac{1}{4n+1}.
Portanto
\int_{0}^{1} e^{u^{4}}\,du = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!(4n+1)}.

Passo 7

Voltando ao fator \pi que tínhamos na frente:
\iint_{D} e^{(x^{2}+y^{2})^{4}}\,dA = \pi \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!(4n+1)}.
Isto é uma expressão exata e bem adequada para a prova. Se quiser uma aproximação numérica, calculemos alguns termos da soma para ver a convergência rápida:
Termos iniciais:
\begin{aligned} n=0:&\quad \frac{1}{0!(1)}=1,\\\ n=1:&\quad \frac{1}{1!\cdot 5}=0{,}2,\\\ n=2:&\quad \frac{1}{2!\cdot 9}\approx 0{,}0555556,\\\ n=3:&\quad \frac{1}{6\cdot 13}\approx 0{,}0128205,\\\ n=4:&\quad \frac{1}{24\cdot 17}\approx 0{,}00245098,\\\ \end{aligned}
Somando vários termos (até n=10) obtemos
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!(4n+1)} \approx 1{,}27128713.
Multiplicando por \pi,
\iint_{D} e^{(x^{2}+y^{2})^{4}}\,dA \approx 3{,}995017\\ \text{(aprox.)}.

Passo 8

Recapitulando: transformamos para polares, usamos r\,dr\,d\theta, substituímos u=r^{2} e integrámos a série de e^{u^{4}}. A resposta exata fica em forma de série bem comportada; a aproximação numérica é dada acima.

Resposta

\displaystyle \pi \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!(4n+1)}
\displaystyle \approx 3{,}995017

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