Faça um resumo contendo informaçōes referentes ao comportumento da funçāo f(x)=\log _{a}(b x+c)+d, incluindo questòes como: dominio, imagem, ralzes, crescimento e decrescimento da curva, entre outros.

Passo 1

O enunciado pede um resumo do comportamento da função \,f(x)=\log_{a}(b x + c) + d\,, cobrindo: domínio, imagem (contradomínio efetivo), raízes (zeros), crescimento/decrescimento, assíntotas, interceptos e outros aspectos importantes. As informações dadas (os parâmetros que aparecem) são:
  • \,a é a base do logaritmo, com as condições implícitas \,a>0 e \,a\neq 1.
  • \,b,c,d são números reais quaisquer, com possíveis restrições para que a função esteja bem definida.
    Não há valores numéricos específicos fornecidos para \,a,b,c,d; precisamos apresentar resultados gerais dependendo dos sinais e valores desses parâmetros.

Passo 2

Domínio — primeiro passo técnico: o logaritmo exige argumento positivo. Portanto exigimos
b x + c > 0.
Resolvendo essa desigualdade dependendo do sinal de \,b:
\text{Se } b>0:\quad x > -\frac{c}{b}.
\text{Se } b<0:\quad x < -\frac{c}{b}.
\text{Se } b=0:\quad \text{então o argumento é } c. \text{ A função existe apenas se } c>0, \text{ e o domínio é } \mathbb{R}.ãéçãíé
Obs.: se b=0 e c\le 0, a função não está definida em nenhum x (domínio vazio).

Passo 3

Imagem (alcance/contradomínio efetivo) — usamos a propriedade fundamental do logaritmo: a função \,x\mapsto \log_a(x) envia (0,\infty) sobre todo \mathbb{R} (ou seja, sua imagem é \mathbb{R}), para qualquer base \,a>0, a\neq1. Como \,b x + c percorre todo o intervalo (0,\infty) quando x varia no domínio acima, concluímos:
  • Se a função estiver definida (domínio não vazio) e b\neq 0, então a imagem de f é
\mathrm{Im}(f)=\mathbb{R}.
  • Caso especial b=0 e c>0: a função é constante
f(x)=\log_a\text{(c)}+d,
logo a imagem é o conjunto unitário
\mathrm{Im}(f)=\{\log_a\text{(c)}+d\}.

Passo 4

Assíntotas verticais e comportamento perto delas — a fronteira do domínio ocorre quando b x + c = 0, ou seja em
x = -\frac{c}{b},
desde que b\neq 0. Esse ponto não pertence ao domínio, e ao nos aproximarmos dele pelo lado permitido o argumento do log tende a 0^+, então
\log_a(bx+c)\to -\infty.
Portanto:
  • Existe uma assíntota vertical em \,x=-\dfrac{c}{b} (quando b\neq 0), e f(x)\to -\infty ao aproximar-se dessa abscissa pela região do domínio.

Passo 5

Intercepto em y (quando x=0) — se x=0 pertence ao domínio (ou seja, se c>0 quando b\neq0, ou sempre quando b=0 e c>0), então o ponto de interseção com o eixo y é
f(0)=\log_a\text{(c)}+d.
Se 0 não estiver no domínio, não há intercepto em y.

Passo 6

Raiz (zero) da função — para achar x tal que f(x)=0 resolvemos
\log_a(bx+c)+d=0.
Isolando o logaritmo:
\log_a(bx+c) = -d.
Aplicando a definição de logaritmo (passando para a forma exponencial):
bx+c = a^{-d}.
Se b\neq 0, a solução é
x = \frac{a^{-d}-c}{b}.
Verifique sempre que esse x pertença ao domínio (isto é, que b x + c>0); porém a equação já força b x + c = a^{-d}>0, então a solução é válida sempre que b\neq0. No caso b=0, a função é constante; só existe raiz se \log_a\text{(c)}+d=0, i.e. c=a^{-d}.

Passo 7

Derivada e monotonicidade (crescimento/decrescimento) — derivamos f para analisar monotonicidade. Lembremos que a derivada de \log_a(u) em relação a x é \dfrac{u'}{u\ln a}. Aqui u(x)=bx+c e u'(x)=b. Assim
f'(x)=\frac{b}{(bx+c)\ln a}.
Como no domínio temos (bx+c)>0, o sinal de f'(x) depende só do sinal de b e do sinal de \ln a. Então:
  • Se \,a>1 (logo \ln a>0): o sinal de f' é o mesmo do sinal de \,b. Assim
    • b>0 \Rightarrow f é crescente em seu domínio.
    • b<0 \Rightarrow f é decrescente em seu domínio.
  • Se \,0<a<1 (logo \ln a<0): o sinal de f' é o contrário do sinal de \,b. Assim
    • b>0 \Rightarrow f é decrescente em seu domínio.
    • b<0 \Rightarrow f é crescente em seu domínio.
  • Caso especial b=0: f'(x)=0 (função constante).
Uma forma compacta de lembrar: f é crescente se e somente se b\ln a>0; é decrescente se e somente se b\ln a<0.

Passo 8

Limites nas extremidades do domínio — precisamos saber o que acontece quando x tende às fronteiras do domínio e ao infinito.
  • Aproximando-se da assíntota vertical \,x\to -\dfrac{c}{b}^{+} (lado do domínio): bx+c\to 0^+ então \log_a(bx+c)\to -\infty e portanto f(x)\to -\infty.
  • Comportamento para x\to\pm\infty depende do sinal de b e do valor de a:
    • Se b>0: quando x\to+\infty, bx+c\to+\infty. Então
      • se a>1, \log_a(bx+c)\to +\infty e f(x)\to +\infty;
      • se 0<a<1, \log_a(bx+c)\to -\infty e f(x)\to -\infty.
    • Se b<0: quando x\to-\infty, no limite que pertence ao domínio bx+c\to+\infty (porque com b<0 e x\to -\infty o produto é +\infty). Então similarmente:
      • se a>1, f(x)\to +\infty quando x\to -\infty (na direção do domínio);
      • se 0<a<1, f(x)\to -\infty nessa direção.
        Não há, em geral, assíntota horizontal: o logaritmo diverge lentamente para \pm\infty conforme acima.

Passo 9

Transformações geométricas (intuição de gráfico) — é útil interpretar f como composição de transformações simples:
  • Comece do gráfico de \,y=\log_a(x).
  • Aplicar a transformação x\mapsto bx+c é uma combinação de:
    • se b\neq0: uma dilatação horizontal por fator 1/|b| e reflexão em torno do eixo y se b<0, seguida de deslocamento horizontal por -c/b. A linha vertical x=0 do log original passa a ser a linha vertical x=-c/b (assíntota).
  • Finalmente, adicionar d desloca o gráfico verticalmente em d unidades.
    Essa visão ajuda a desenhar esboços rapidamente e a prever posições do intercepto e da assíntota.

Passo 10

Casos especiais e dicas de prova rápida
  • Se b=0: a função é constante \,f(x)=\log_a\text{(c)}+d (exija c>0).
  • Se c=0: então f(x)=\log_a(bx)+d e a assíntota vertical fica em x=0; domínio é x>0 se b>0 e x<0 se b<0.
  • Para calcular a raiz use sempre a fórmula \,x=(a^{-d}-c)/b (quando b\neq0).
  • Lembre-se: a imagem é \mathbb{R} quando a função não é constante; isso simplifica muitos argumentos de limite e de existência de raízes.
  • Regra mnemônica para monotonicidade: “aumenta se base e inclinação têm o mesmo efeito” → formalmente b\ln a>0 implica crescente.

Passo 11

Exemplo numérico rápido (para fixar): suponha \,a=10,\\ b=2,\\ c= -4,\\ d=1.
  • Domínio: 2x-4>0\Rightarrow x>2.
  • Assíntota vertical: x=2.
  • Raiz: x=(10^{-1}-(-4))/2=(0,1+4)/2=4,1/2=2,05 (note: \,10^{-1}=0{,}1). A raiz está em x>2, válida.
  • Monotonicidade: \ln 10>0 e b=2>0\Rightarrow função crescente.
    (Exemplo só para treinar o uso das fórmulas; na prova faça cálculos manuais com cuidado.)

Resposta

Domínio: \, \{x\in\mathbb{R}\mid bx+c>0\} =\begin{cases} \left(-\dfrac{c}{b},\infty\right), & b>0,\\\ \left(-\infty,-\dfrac{c}{b}\right), & b<0,\\\ \mathbb{R}\\ \text{se }b=0\text{ e }c>0,\\ \text{vazio se }b=0\text{ e }c\le 0. \end{cases}
Imagem: \,\mathbb{R} para b\neq0 (ou domínio não vazio); se b=0 e c>0 então \{\log_a\text{(c)}+d\}.
Assíntota vertical: \,x=-\dfrac{c}{b} (quando b\neq0); f(x)\to -\infty ao aproximar-se dessa abscissa pelo domínio.
Raiz (zero): se b\neq0, \displaystyle x=\frac{a^{-d}-c}{b} (válida automaticamente pois bx+c=a^{-d}>0); se b=0 existe raiz somente quando \log_a\text{(c)}+d=0.
Intercepto em y: \,f(0)=\log_a\text{(c)}+d se 0 pertence ao domínio.
Monotonicidade: f'(x)=\dfrac{b}{(bx+c)\ln a}. Portanto f é crescente se b\ln a>0 e decrescente se b\ln a<0. Caso b=0 é constante.
Limites/Comportamento nas extremidades: próximo a x=-\dfrac{c}{b} tem f\to -\infty; para a direção onde bx+c\to\infty, se a>1 então f\to+\infty, se 0<a<1 então f\to-\infty. Transformações: gráfico obtido a partir de y=\log_a x por compressão/espelhamento horizontal (fator 1/|b|), deslocamento horizontal de -\dfrac{c}{b} e deslocamento vertical de d.

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