\iint_{\mathcal{R}}\left(3 x+4 y^{2}\right) d A, onde \mathcal{R} é a região no semiplano superior limitada pelos círculos x^{2}+y^{2}=1 e x^{2}+y^{2}=4.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{\mathcal{R}}\left(3x+4y^{2}\right)\,dA,
onde \mathcal{R} é a região no semiplano superior limitada pelos círculos \;x^{2}+y^{2}=1\; e \;x^{2}+y^{2}=4\;.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A região está entre os dois círculos centrados na origem com raios 1 e 2. Ou seja, os pontos da região satisfazem 1\le x^{2}+y^{2}\le 4.
  • A região está no semiplano superior, portanto y\ge 0.
  • O integrando é 3x+4y^{2}.
O que precisa ser encontrado: o valor numérico da integral dupla sobre \mathcal{R}.

Passo 2

Escolha do método: usar coordenadas polares. Justificativa sem complicar: a região é circular (entre dois círculos centrados na origem) e está limitada por raios constantes, então em coordenadas polares os limites ficam muito simples. Não há exigência de outro método no enunciado, e coordenadas polares são o método natural aqui.
Lembrete da mudança para coordenadas polares:
  • As coordenadas polares são dadas por \;x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta\;.
  • O elemento de área transforma como \;dA = r\,dr\,d\theta\;. (Esse r vem do determinante jacobiano da transformação (r,\theta)\mapsto(x,y); quem tiver curiosidade: o jacobiano é \begin{vmatrix}\cos\theta & -r\sin\theta\\[4pt]\sin\theta & r\cos\theta\end{vmatrix}=r.)
Determinação dos limites em polares:
  • Como a região está entre os círculos de raio 1 e 2, temos \;1\le r\le 2.
  • Como é o semiplano superior, o ângulo percorre de \;0 a \pi (ou seja, \;0\le\theta\le\pi), porque y=r\sin\theta\ge0 exige \theta entre 0 e \pi.]

Passo 3

Transformar o integrando para polares.
Substituindo \;x=r\cos\theta\; e \;y=r\sin\theta\;,
3x+4y^{2}=3r\cos\theta+4r^{2}\sin^{2}\theta.
Multiplicando pelo jacobiano \;r\; (pois dA=r\,dr\,d\theta), o integrando em dr\,d\theta fica
\bigl(3r\cos\theta+4r^{2}\sin^{2}\theta\bigr)r = 3r^{2}\cos\theta + 4r^{3}\sin^{2}\theta.
Portanto a integral passa a ser
\iint_{\mathcal{R}}\!(3x+4y^{2})\,dA = \int_{\theta=0}^{\pi}\int_{r=1}^{2}\bigl(3r^{2}\cos\theta + 4r^{3}\sin^{2}\theta\bigr)\,dr\,d\theta.

Passo 4

Separar a integral em duas (linearidade da integral):
\int_{0}^{\pi}\int_{1}^{2}3r^{2}\cos\theta\,dr\,d\theta \;+\; \int_{0}^{\pi}\int_{1}^{2}4r^{3}\sin^{2}\theta\,dr\,d\theta.
Tratar a primeira parcela: como os fatores em r e \theta se separam, pode-se escrever
\int_{0}^{\pi}\int_{1}^{2}3r^{2}\cos\theta\,dr\,d\theta = 3\Bigl(\int_{1}^{2}r^{2}\,dr\Bigr)\Bigl(\int_{0}^{\pi}\cos\theta\,d\theta\Bigr).
Calcule \int_{0}^{\pi}\cos\theta\,d\theta: a primitiva de \cos\theta é \sin\theta, logo
\int_{0}^{\pi}\cos\theta\,d\theta = \sin\theta\Big|_{0}^{\pi}=\sin\pi-\sin0=0-0=0.
Portanto toda a primeira parcela vale 0. Intuição: o termo 3x é ímpar em x e a região é simétrica em x para \theta\in[0,\pi], gerando cancelamento.

Passo 5

Agora a segunda parcela:
\int_{0}^{\pi}\int_{1}^{2}4r^{3}\sin^{2}\theta\,dr\,d\theta =4\Bigl(\int_{1}^{2}r^{3}\,dr\Bigr)\Bigl(\int_{0}^{\pi}\sin^{2}\theta\,d\theta\Bigr).
Calcular a integral em r:
\int_{1}^{2}r^{3}\,dr = \frac{r^{4}}{4}\Big|_{1}^{2} = \frac{2^{4}}{4}-\frac{1^{4}}{4} = \frac{16-1}{4}=\frac{15}{4}.
Multiplicando por 4 (do fator fora), obtemos 4\cdot\frac{15}{4}=15. Logo a segunda parcela reduz-se a
15\cdot\int_{0}^{\pi}\sin^{2}\theta\,d\theta.
Calcular \int_{0}^{\pi}\sin^{2}\theta\,d\theta usando a identidade de ângulo duplo:
\sin^{2}\theta = \frac{1-\cos(2\theta)}{2}.
Portanto
\int_{0}^{\pi}\sin^{2}\theta\,d\theta = \int_{0}^{\pi}\frac{1-\cos(2\theta)}{2}\,d\theta = \frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}1\,d\theta - \frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}\cos(2\theta)\,d\theta.
A primeira integral vale \frac{1}{2}\pi. A segunda é
\int_{0}^{\pi}\cos(2\theta)\,d\theta = \frac{\sin(2\theta)}{2}\Big|_{0}^{\pi}=\frac{\sin(2\pi)-\sin0}{2}=0,
logo a integral de \sin^{2}\theta é \dfrac{\pi}{2}.

Passo 6

Juntando tudo: a primeira parcela deu 0 e a segunda deu
15\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{15\pi}{2}.
Portanto
\iint_{\mathcal{R}}\left(3x+4y^{2}\right)\,dA = \frac{15\pi}{2}.

Resposta

\dfrac{15\pi}{2}

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