\iint_{\mathcal{R}}\left(3 x+4 y^{2}\right) d A, onde \mathcal{R} é a região no semiplano superior limitada pelos círculos x^{2}+y^{2}=1 e x^{2}+y^{2}=4.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{\mathcal{R}}\left(3x+4y^{2}\right)\,dA,
onde \mathcal{R} é a região no semiplano superior limitada pelos círculos \;x^{2}+y^{2}=1\; e \;x^{2}+y^{2}=4\;.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
A região está entre os dois círculos centrados na origem com raios 1 e 2. Ou seja, os pontos da região satisfazem 1\le x^{2}+y^{2}\le 4.
A região está no semiplano superior, portanto y\ge 0.
O integrando é 3x+4y^{2}.
O que precisa ser encontrado: o valor numérico da integral dupla sobre \mathcal{R}.
Passo 2
Escolha do método: usar coordenadas polares. Justificativa sem complicar: a região é circular (entre dois círculos centrados na origem) e está limitada por raios constantes, então em coordenadas polares os limites ficam muito simples. Não há exigência de outro método no enunciado, e coordenadas polares são o método natural aqui.
Lembrete da mudança para coordenadas polares:
As coordenadas polares são dadas por \;x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta\;.
O elemento de área transforma como \;dA = r\,dr\,d\theta\;. (Esse r vem do determinante jacobiano da transformação (r,\theta)\mapsto(x,y); quem tiver curiosidade: o jacobiano é \begin{vmatrix}\cos\theta & -r\sin\theta\\[4pt]\sin\theta & r\cos\theta\end{vmatrix}=r.)
Determinação dos limites em polares:
Como a região está entre os círculos de raio 1 e 2, temos \;1\le r\le 2.
Como é o semiplano superior, o ângulo percorre de \;0 a \pi (ou seja, \;0\le\theta\le\pi), porque y=r\sin\theta\ge0 exige \theta entre 0 e \pi.]
Passo 3
Transformar o integrando para polares.
Substituindo \;x=r\cos\theta\; e \;y=r\sin\theta\;,
3x+4y^{2}=3r\cos\theta+4r^{2}\sin^{2}\theta.
Multiplicando pelo jacobiano \;r\; (pois dA=r\,dr\,d\theta), o integrando em dr\,d\theta fica