Determine se
é um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função
tal que
.
(c)
(c)
Passo 1
O enunciado pede para determinar se
é um campo vetorial conservativo e, se for, achar uma função potencial
tal que
.
Dado:
Vou chamar as componentes de
Passo 2
O que significa ser conservativo?
- Um campo vetorial
é conservativo se existe uma função escalar (a potencial) tal que . - Em
, quando as componentes de têm derivadas parciais contínuas e o domínio é simplesmente conexo (sem “buracos”), uma forma prática de testar se é conservativo é calcular o rotacional (curl). Se então é conservativo.
A fórmula do rotacional em coordenadas cartesianas é
Passo 3
Calculo cada termo do rotacional com cuidado:
Primeiro componente (i):
Logo
Segunda componente (j):
Logo
Terceira componente (k):
Logo
Portanto
Passo 4
Interpretação: as componentes de
são funções diferenciáveis em todo
e o domínio natural do campo é todo
, que é simplesmente conexo (não tem “buracos”). Pelo teorema padrão, como
em
, conclui-se que
é conservativo e existe uma potencial
tal que
.
Passo 5
Agora vamos construir
explicitamente. Partimos das igualdades
Integro a primeira igualdade em relação a
:
onde
é uma “constante” de integração no sentido de depender apenas de
e
.
Passo 6
Agora uso a segunda igualdade para determinar
. Calculo
a partir da expressão obtida:
Comparando com
:
Integro essa igualdade em relação a
:
onde
é função que depende apenas de
.
Passo 7
Agora a expressão de
é
Uso a terceira igualdade para encontrar
. Calculo
:
Comparando com
dá
Portanto
é uma constante, digamos
.
Passo 8
Concluímos que uma potencial possível é, até uma constante aditiva,
Verificação rápida: calcular
que são exatamente as componentes de
. Tudo confere.
Passo 9
Resumo final e motivação rápida: o cálculo do rotacional serviu para checar se existia potencial; como deu zero em
(domínio simplesmente conexo), existia. Depois integramos componente a componente, sempre lembrando que integrações parciais introduzem “constantes” que podem depender das outras variáveis — esse é o truque prático numa prova.
Força aí — é um procedimento padrão: 1) testar rotacional; 2) integrar
; 3) ajustar com integração em
; 4) resolver função de
. Dá para fazer rápido na prova com prática.