Determine se F é um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função f tal que F=\nabla f.
(c) F(x, y, z)=y^{2} i+\left(2 x y+e^{3 z}\right) j+3 y e^{3 z} k

Passo 1

O enunciado pede para determinar se F é um campo vetorial conservativo e, se for, achar uma função potencial f tal que F=\nabla f.
Dado:
F(x,y,z)=y^{2}\,\mathbf{i}+\bigl(2xy+e^{3z}\bigr)\,\mathbf{j}+3y e^{3z}\,\mathbf{k}.
Vou chamar as componentes de
F_1(x,y,z)=y^2,\qquad F_2(x,y,z)=2xy+e^{3z},\qquad F_3(x,y,z)=3y e^{3z}.

Passo 2

O que significa ser conservativo?
  • Um campo vetorial F é conservativo se existe uma função escalar f (a potencial) tal que \nabla f = F.
  • Em \mathbb{R}^3, quando as componentes de F têm derivadas parciais contínuas e o domínio é simplesmente conexo (sem “buracos”), uma forma prática de testar se F é conservativo é calcular o rotacional (curl). Se \nabla\times F=\mathbf{0} então F é conservativo.
A fórmula do rotacional em coordenadas cartesianas é
\nabla\times F = \left(\frac{\partial F_3}{\partial y}-\frac{\partial F_2}{\partial z}\right)\mathbf{i} +\left(\frac{\partial F_1}{\partial z}-\frac{\partial F_3}{\partial x}\right)\mathbf{j} +\left(\frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y}\right)\mathbf{k}.

Passo 3

Calculo cada termo do rotacional com cuidado:
Primeiro componente (i):
\frac{\partial F_3}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(3y e^{3z}\bigr)=3 e^{3z}, \qquad \frac{\partial F_2}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}\bigl(2xy+e^{3z}\bigr)=3 e^{3z}.
Logo
\frac{\partial F_3}{\partial y}-\frac{\partial F_2}{\partial z}=3 e^{3z}-3 e^{3z}=0.
Segunda componente (j):
\frac{\partial F_1}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}\bigl(y^2\bigr)=0, \qquad \frac{\partial F_3}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(3y e^{3z}\bigr)=0.
Logo
\frac{\partial F_1}{\partial z}-\frac{\partial F_3}{\partial x}=0-0=0.
Terceira componente (k):
\frac{\partial F_2}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(2xy+e^{3z}\bigr)=2y, \qquad \frac{\partial F_1}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(y^2\bigr)=2y.
Logo
\frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y}=2y-2y=0.
Portanto
\nabla\times F=\mathbf{0}.

Passo 4

Interpretação: as componentes de F são funções diferenciáveis em todo \mathbb{R}^3 e o domínio natural do campo é todo \mathbb{R}^3, que é simplesmente conexo (não tem “buracos”). Pelo teorema padrão, como \nabla\times F=\mathbf{0} em \mathbb{R}^3, conclui-se que F é conservativo e existe uma potencial f tal que \nabla f=F.

Passo 5

Agora vamos construir f explicitamente. Partimos das igualdades
\frac{\partial f}{\partial x}=F_1=y^2,\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=F_2=2xy+e^{3z},\qquad \frac{\partial f}{\partial z}=F_3=3y e^{3z}.
Integro a primeira igualdade em relação a x:
\frac{\partial f}{\partial x}=y^2 \quad\Rightarrow\quad f(x,y,z)=\int y^2\,dx = x y^2 + g(y,z),
onde g(y,z) é uma “constante” de integração no sentido de depender apenas de y e z.

Passo 6

Agora uso a segunda igualdade para determinar g. Calculo \partial f/\partial y a partir da expressão obtida:
\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x y^2 + g(y,z)\bigr)=2xy+\frac{\partial g}{\partial y}.
Comparando com F_2:
2xy+\frac{\partial g}{\partial y}=2xy+e^{3z}\quad\Rightarrow\quad \frac{\partial g}{\partial y}=e^{3z}.
Integro essa igualdade em relação a y:
g(y,z)=\int e^{3z}\,dy = y e^{3z} + h(z),
onde h(z) é função que depende apenas de z.

Passo 7

Agora a expressão de f é
f(x,y,z)=x y^2 + y e^{3z} + h(z).
Uso a terceira igualdade para encontrar h. Calculo \partial f/\partial z:
\frac{\partial f}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}\bigl(x y^2 + y e^{3z} + h(z)\bigr) = y\cdot 3 e^{3z} + h'(z)=3y e^{3z}+h'(z).
Comparando com F_3=3y e^{3z}
3y e^{3z}+h'(z)=3y e^{3z}\quad\Rightarrow\quad h'(z)=0.
Portanto h(z) é uma constante, digamos C.

Passo 8

Concluímos que uma potencial possível é, até uma constante aditiva,
f(x,y,z)=x y^2 + y e^{3z} + C.
Verificação rápida: calcular \nabla f
\frac{\partial f}{\partial x}=y^2,\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=2xy+e^{3z},\qquad \frac{\partial f}{\partial z}=3y e^{3z},
que são exatamente as componentes de F. Tudo confere.

Passo 9

Resumo final e motivação rápida: o cálculo do rotacional serviu para checar se existia potencial; como deu zero em \mathbb{R}^3 (domínio simplesmente conexo), existia. Depois integramos componente a componente, sempre lembrando que integrações parciais introduzem “constantes” que podem depender das outras variáveis — esse é o truque prático numa prova.
Força aí — é um procedimento padrão: 1) testar rotacional; 2) integrar \partial f/\partial x; 3) ajustar com integração em y; 4) resolver função de z. Dá para fazer rápido na prova com prática.

Resposta

f(x,y,z)=x y^{2}+y e^{3z}+C

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