Esboce os seguintes campos vetoriais
(d) F(x, y)=y \vec{i}+x \vec{j}

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o campo vetorial F(x,y)=y\,\vec{i}+x\,\vec{j}.
Informações dadas:
  • A função do campo é F(x,y)=(y,x) (a componente x do vetor é y e a componente y do vetor é x).
  • Não há mais restrições (domínio é todo \mathbb{R}^2).
    O objetivo é desenhar (esboçar) as setas do campo no plano, percebendo direção, sentido, comprimento e simetrias.

Passo 2

Entenda o que cada ponto produz: para um ponto (x,y) o vetor é
F(x,y)=(y,x).
Isso significa: troca-se as coordenadas do ponto para formar o vetor. Para visualizar o campo, vamos aprender duas coisas úteis que facilitam o esboço.
Primeira propriedade — comprimento do vetor. O módulo de F é
\|F(x,y)\|=\sqrt{y^{2}+x^{2}}=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Isto é, o comprimento do vetor em (x,y) é exatamente a distância do ponto à origem. Em palavras: quanto mais longe do centro, maior a seta, e o crescimento do comprimento é linear com a distância.
Segunda propriedade — direção do vetor. Se o vetor posição do ponto tem ângulo \theta (isto é, \tan\theta=\dfrac{y}{x}), então o vetor F(x,y)=(y,x) tem ângulo
\varphi=\arctan\!\left(\dfrac{x}{y}\right).
Uma interpretação geométrica simples: F(x,y) é o resultado de trocar as coordenadas de (x,y), isto é, é a reflexão do vetor posição (x,y) em relação à reta y=x. Portanto o campo apresenta simetria ao refletir o plano pela reta y=x.

Passo 3

Vamos calcular F em pontos estratégicos para ter um esqueleto do esboço. Em cada caso calculo a componente e o módulo, explicando como desenhar a seta.
  • Em (0,0):
F(0,0)=(0,0).
A origem é ponto crítico: vetor nulo (sem seta).
  • Em (1,0):
F(1,0)=(0,1).
No ponto (1,0) a seta aponta verticalmente para cima e tem comprimento \|F\|=\sqrt{1^{2}+0^{2}}=1.
  • Em (0,1):
F(0,1)=(1,0).
No ponto (0,1) a seta aponta para a direita com comprimento 1.
  • Em (-1,0):
F(-1,0)=(0,-1).
No ponto (-1,0) a seta aponta para baixo (comprimento 1).
  • Em (0,-1):
F(0,-1)=(-1,0).
No ponto (0,-1) a seta aponta para a esquerda (comprimento 1).
  • Em (1,1):
F(1,1)=(1,1),
seta na direção nordeste (45°), comprimento \sqrt{2}. Note que na reta y=x o vetor coincide com o vetor posição.
  • Em (-1,-1):
F(-1,-1)=(-1,-1),
seta na direção sudoeste (comprimento \sqrt{2}).
  • Em (1,-1):
F(1,-1)=(-1,1),
seta aponta para noroeste.
  • Em (-1,1):
F(-1,1)=(1,-1),
seta aponta para sudeste.
Esses pontos já mostram o padrão: trocar as coordenadas é refletir as direções através da reta y=x, e o comprimento cresce com a distância à origem.

Passo 4

Analise as simetrias e comportamento por regiões (isso ajuda a preencher o esboço entre os pontos calculados):
  • Sobre o eixo x ( y=0) temos F(x,0)=(0,x). Assim, em pontos com x>0 a seta aponta para cima; em x<0 aponta para baixo. Ex.: (2,0) aponta para cima com comprimento 2.
  • Sobre o eixo y ( x=0) temos F(0,y)=(y,0). Em y>0 aponta para a direita; em y<0 aponta para a esquerda.
  • Sobre a reta y=x temos F(x,x)=(x,x): vetores radiais (apontando na mesma direção do vetor posição) com módulo \sqrt{2}\,|x| — ou seja, ali as setas “apontam para fora” quando x>0 e para dentro quando x<0.
  • Sobre a reta y=-x temos F(x,-x)=(-x,x), que é (-1) vezes (x,-x) trocado; geometricamente os vetores ficam perpendiculares aos vectores posição sobre essa reta (ver exemplos acima).
  • Em cada quadrante o padrão de sinais das componentes dá os sentidos:
    • Quadrante I ( x>0,y>0): F tem ambas componentes positivas → seta para nordeste.
    • Quadrante II ( x<0,y>0): F=(y,x) com y>0, x<0 → componente i positiva e j negativa → seta para sudeste.
    • Quadrante III ( x<0,y<0): ambas negativas → sudoeste (mesma direção radial).
    • Quadrante IV ( x>0,y<0): i negativa, j positiva → noroeste.

Passo 5

Interpretação via potencial (ajuda a desenhar as linhas de fluxo e entender perpendicularidade): calcule se o campo é gradiente de alguma função. Seja F=(P,Q) com P=y e Q=x. A derivada mista dá
\frac{\partial Q}{\partial x}=1,\qquad \frac{\partial P}{\partial y}=1,
portanto \dfrac{\partial Q}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial y}=0 — o rotacional é zero no plano, logo o campo é conservativo (em todo \mathbb{R}^2). Um potencial \varphi satisfaz
\frac{\partial \varphi}{\partial x}=y,\qquad \frac{\partial \varphi}{\partial y}=x.
Integrando \partial \varphi/\partial x=y em relação a x obtemos \varphi(x,y)=xy+C(y). Diferenciando em y e igualando a x confirma C'(y)=0. Então podemos escolher
\varphi(x,y)=xy.
Isto diz que as curvas de nível \varphi(x,y)=\text{const} são hipérboles xy=\text{const}, e os vetores F são perpendiculares a essas hipérboles, apontando na direção de crescimento de xy.

Passo 6

Como montar o esboço final (passo a passo prático para a prova):
  1. Desenhe um reticulado simples centrado na origem (pontos com coordenadas inteiras -2,-1,0,1,2).
  2. No ponto (0,0) coloque ponto (sem seta).
  3. Em cada ponto (m,n) do grid desenhe a seta igual a (n,m). Use os exemplos do Passo 3 como referência (por exemplo (1,0)\mapsto(0,1) seta para cima; (0,1)\mapsto(1,0) seta para a direita; (1,1)\mapsto(1,1) diagonal nordeste; (1,-1)\mapsto(-1,1) noroeste).
  4. Ajuste o comprimento proporcional à distância ao centro (regra: comprimento da seta \propto\sqrt{x^{2}+y^{2}}). Se desenha à mão, basta fazer setas maiores conforme afastar-se da origem.
  5. Observe simetria em relação à reta y=x: o campo é reflexo do vetor posição nessa reta. Use essa simetria para preencher quadrantes rapidamente.
  6. Como verificação, desenhe algumas hipérboles xy=C e confira que as setas estão perpendiculares a essas curvas e apontam na direção em que xy aumenta.

Resposta

Esboço do campo F(x,y)=y\,\vec{i}+x\,\vec{j}: vetores obtidos trocando as coordenadas do ponto (x,y), com módulo \|F\|=\sqrt{x^{2}+y^{2}} (cresce com a distância à origem) e simetria por reflexão na reta y=x. Pontos-chave: F(0,0)=(0,0), F(1,0)=(0,1), F(0,1)=(1,0), F(1,1)=(1,1), F(1,-1)=(-1,1). O campo é conservativo com potencial \varphi(x,y)=xy; as linhas de nível são hipérboles xy=\text{const} e os vetores são perpendiculares a essas hipérboles, apontando para onde xy aumenta.

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