Esboce os seguintes campos vetoriais
(d)
(d)
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o campo vetorial
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função do campo é
(a componente do vetor é e a componente do vetor é ). - Não há mais restrições (domínio é todo
).
O objetivo é desenhar (esboçar) as setas do campo no plano, percebendo direção, sentido, comprimento e simetrias.
Passo 2
Entenda o que cada ponto produz: para um ponto
o vetor é
Isso significa: troca-se as coordenadas do ponto para formar o vetor. Para visualizar o campo, vamos aprender duas coisas úteis que facilitam o esboço.
Primeira propriedade — comprimento do vetor. O módulo de
é
Isto é, o comprimento do vetor em
é exatamente a distância do ponto à origem. Em palavras: quanto mais longe do centro, maior a seta, e o crescimento do comprimento é linear com a distância.
Segunda propriedade — direção do vetor. Se o vetor posição do ponto tem ângulo
(isto é,
), então o vetor
tem ângulo
Uma interpretação geométrica simples:
é o resultado de trocar as coordenadas de
, isto é, é a reflexão do vetor posição
em relação à reta
. Portanto o campo apresenta simetria ao refletir o plano pela reta
.
Passo 3
Vamos calcular
em pontos estratégicos para ter um esqueleto do esboço. Em cada caso calculo a componente e o módulo, explicando como desenhar a seta.
- Em
:
A origem é ponto crítico: vetor nulo (sem seta).
- Em
:
No ponto
a seta aponta verticalmente para cima e tem comprimento
.
- Em
:
No ponto
a seta aponta para a direita com comprimento
.
- Em
:
No ponto
a seta aponta para baixo (comprimento
).
- Em
:
No ponto
a seta aponta para a esquerda (comprimento
).
- Em
:
seta na direção nordeste (45°), comprimento
. Note que na reta
o vetor coincide com o vetor posição.
- Em
:
seta na direção sudoeste (comprimento
).
- Em
:
seta aponta para noroeste.
- Em
:
seta aponta para sudeste.
Esses pontos já mostram o padrão: trocar as coordenadas é refletir as direções através da reta
, e o comprimento cresce com a distância à origem.
Passo 4
Analise as simetrias e comportamento por regiões (isso ajuda a preencher o esboço entre os pontos calculados):
-
Sobre o eixo
( ) temos . Assim, em pontos com a seta aponta para cima; em aponta para baixo. Ex.: aponta para cima com comprimento . -
Sobre o eixo
( ) temos . Em aponta para a direita; em aponta para a esquerda. -
Sobre a reta
temos : vetores radiais (apontando na mesma direção do vetor posição) com módulo — ou seja, ali as setas “apontam para fora” quando e para dentro quando . -
Sobre a reta
temos , que é vezes trocado; geometricamente os vetores ficam perpendiculares aos vectores posição sobre essa reta (ver exemplos acima). -
Em cada quadrante o padrão de sinais das componentes dá os sentidos:
- Quadrante I (
): tem ambas componentes positivas → seta para nordeste. - Quadrante II (
): com , → componente positiva e negativa → seta para sudeste. - Quadrante III (
): ambas negativas → sudoeste (mesma direção radial). - Quadrante IV (
): negativa, positiva → noroeste.
- Quadrante I (
Passo 5
Interpretação via potencial (ajuda a desenhar as linhas de fluxo e entender perpendicularidade): calcule se o campo é gradiente de alguma função. Seja
com
e
. A derivada mista dá
portanto
— o rotacional é zero no plano, logo o campo é conservativo (em todo
). Um potencial
satisfaz
Integrando
em relação a
obtemos
. Diferenciando em
e igualando a
confirma
. Então podemos escolher
Isto diz que as curvas de nível
são hipérboles
, e os vetores
são perpendiculares a essas hipérboles, apontando na direção de crescimento de
.
Passo 6
Como montar o esboço final (passo a passo prático para a prova):
- Desenhe um reticulado simples centrado na origem (pontos com coordenadas inteiras
). - No ponto
coloque ponto (sem seta). - Em cada ponto
do grid desenhe a seta igual a . Use os exemplos do Passo 3 como referência (por exemplo seta para cima; seta para a direita; diagonal nordeste; noroeste). - Ajuste o comprimento proporcional à distância ao centro (regra: comprimento da seta
). Se desenha à mão, basta fazer setas maiores conforme afastar-se da origem. - Observe simetria em relação à reta
: o campo é reflexo do vetor posição nessa reta. Use essa simetria para preencher quadrantes rapidamente. - Como verificação, desenhe algumas hipérboles
e confira que as setas estão perpendiculares a essas curvas e apontam na direção em que aumenta.
Resposta
Esboço do campo
: vetores obtidos trocando as coordenadas do ponto
, com módulo
(cresce com a distância à origem) e simetria por reflexão na reta
. Pontos-chave:
,
,
,
,
. O campo é conservativo com potencial
; as linhas de nível são hipérboles
e os vetores são perpendiculares a essas hipérboles, apontando para onde
aumenta.