\iint_{S} \sqrt{4-x^{2} y^{2}} d A, \quad\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 1, x \geqslant 0\right\}
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral dupla
\iint_{S} \sqrt{4-x^{2}y^{2}}\;dA,
onde o conjunto S é a meia-lua (semicírculo) do disco unitário dado por
S=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le 1,\; x\ge 0\}.
Perguntas claras:
Calcular o valor numérico da integral sobre S.
Informações relevantes que temos:
A região S tem raio 1 e corresponde à metade do disco unitário (porque x\ge0).
A função integranda é \sqrt{4-x^{2}y^{2}}, que é simétrica em y e depende somente do produto x y.
Em S tem-se |x y|\le \max_{S} x y = 1/2 (o máximo de x y no disco unitário ocorre em x=y=1/\sqrt{2} e dá 1/2), portanto x^{2}y^{2}\le 1/4 e o argumento dentro da raiz é sempre positivo (a raiz está bem definida).
Passo 2
Decisão do método: como a integranda não é uma função simples separável em x e y mas depende de x^{2}y^{2} e o domínio é um disco (meia-bola), duas estratégias naturais seriam:
trocar para coordenadas polares e tentar integrar diretamente (leva a integrais elípticas),
ou usar uma expansão em série da raiz (binomial) que converge rápido porque \dfrac{x^{2}y^{2}}{4}\le \dfrac{1}{16} em S.
Escolhi a segunda forma (expansão em série) porque ela permite reduzir o problema a calcular integrais de potências monomiais do tipo \iint_{S} x^{2m}y^{2n}\,dA, que são fáceis com coordenadas polares e fornecem uma aproximação rápida e controlável do valor da integral (o termo pequeno \le 1/16 garante convergência rápida e um bom controle do erro). Vou mostrar como fazer isso passo a passo.
Passo 3
Reescrever a integranda e fazer a expansão binomial:
Como a série converge rapidamente (porque z\le 1/16), vou calcular os primeiros termos explicitamente e estimar o erro restante.
Passo 4
Calcular o primeiro termo (área vezes 2):
\iint_{S} 2\,dA = 2\cdot\text{Area}(S).
A área do disco unitário é \pi, logo a área da metade ( x\ge0 ) é \dfrac{\pi}{2}. Assim
\iint_{S}2\,dA = 2\cdot \dfrac{\pi}{2} = \pi.
Passo 5
Calcular o termo com x^{2}y^{2}:
Precisamos de \iint_{S} x^{2}y^{2}\,dA. É prático calcular primeiro sobre o disco inteiro e depois dividir por 2 (simetria).
Usando coordenadas polares \,x=r\cos\theta,\; y=r\sin\theta,\; dA=r\,dr\,d\theta, temos
I \approx 3{,}1415926536 - 0{,}0163640000 - 0{,}000115095 \approx 3{,}12511356\ldots
Passo 8
Estimativa do erro: o próximo termo da série (proporcional a \iint_{S} x^{6}y^{6}\,dA) tem coeficiente do termo em série -\tfrac{1}{8}z^{3} (quando multiplicado por 2 dá coeficiente -\tfrac{1}{8} para z^{3}) e, usando z\le 1/16, fornece uma contribuição em módulo no máximo da ordem de