Questão 20. A função
é definida ao lado representa a chamada função onda quadrada. Essa representação é útil para descrever sistemas lineares em engenharia e análise de sinais. Expresse a função dada usando funções janela (
) e degrau e calcule sua transformada.
Passo 1
O enunciado diz que a função
é a chamada onda quadrada (representada “ao lado”) e pede duas coisas:
- expressar a função usando funções janela
e degrau unitário; - calcular a sua transformada (presumivelmente a transformada de Fourier).
Informações que o enunciado me deu explicitamente:
- pede expressão em termos de
e degrau; - pede a transformada de
.
Informações que faltam (estas são necessárias para obter uma expressão e uma transformada numéricas/explicitamente completas):
- não foi enviada a figura da função
, portanto não sei se é um único pulso retangular, um pulso deslocado, uma sequência de pulsos periódica (onda quadrada periódica) ou com que amplitude, largura e período; - faltam parâmetros como amplitude
, largura do pulso , deslocamento e, se for periódico, período ou ciclo de trabalho (duty cycle).
Conclusão deste passo: sem a figura (isto é, sem os valores de
,
,
,
ou a indicação se é periódica) não é possível dar a expressão específica de
nem calcular a sua transformada numérica final. A seguir eu explico, passo a passo, como montar a expressão em termos de
e de degrau e como calcular a transformada em todos os casos usuais (pulso único e onda quadrada periódica). Assim, quando você tiver os parâmetros da figura basta aplicar as fórmulas que eu vou fornecer.
Passo 2
Definições e notação (coisas que vamos usar e entender direitinho).
- Definição da função janela (retângulo)
Essa é a janela que vale 1 entre
e 0 fora desse intervalo. (Se a convenção da figura usar inclusão nos extremos isso não altera a transformada praticamente.)
- Relação com o degrau unitário
(onde para e para ): uma janela pode ser escrita como diferença de degraus:
Explicação rápida:
“liga” em
e
“desliga” em
, a diferença fica 1 no intervalo
.
- Convenção da transformada de Fourier que vou usar (engenharia, comum): para um sinal
Aqui
e
é a frequência angular (rad/s). Essa escolha é importante porque muda fatores constantes; se sua prova usar outra convenção (por exemplo com
) adapte os fatores.]
Passo 3
Como escrever um pulso retangular genérico usando
e degrau (e por que isso é útil).
- Pulso de amplitude
que vale no intervalo e zero fora:
Explicação: multiplicar a janela por
coloca a altura do pulso em
.
- Pulso centrado no zero com largura
(forma muito usada): escolha e . Então
Essa forma centrada é conveniente para aproveitar simetrias quando calculamos transformadas.
Passo 4
Transformada de Fourier de um pulso retangular (cálculo passo a passo).
Considere o pulso centrado . Pela definição de transformada:
Considere o pulso centrado
Calcule a integral:
Usando
obtemos
Portanto
É conveniente escrever usando a função sinc (definida aqui como
), então
pois
. Observação: ambas as formas são equivalentes; a forma com
mostra nitidamente a “envoltória” em frequência.
Comentário didático: a transformada do retângulo é uma função sinc no domínio das frequências. Isso significa que um pulso no tempo tem banda infinita em frequência, com lóbulo principal proporcional à largura do pulso. Pulsos mais curtos em tempo geram lóbulos mais largos em frequência (princípio tempo-frequência).
Passo 5
Efeito de deslocamento temporal (regra do deslocamento): se o pulso for deslocado para a direita por
, ou seja
, então a transformada fica multiplicada por um fator exponencial complexo:
Aplicando ao nosso pulso deslocado:
Explicação: o módulo da transformada não muda com deslocamento, só aparece uma fase linear
.
Passo 6
Caso mais comum em “onda quadrada”: sinal periódico (sequência de pulsos, duty cycle).
Se for uma onda quadrada periódica com período
, amplitude
durante um intervalo de duração
em cada período (ou seja duty cycle
) e zero no restante, uma forma natural de escrever é somar janelas deslocadas:
Se
Outra forma elegante é usar o trem de impulsos
e convoluir com o pulso simples:
Transformada de um sinal periódico: a transformada de Fourier de uma função periódica é uma soma de deltas em frequências harmônicas (comb de diracs). Seja
. Primeiro calcule os coeficientes de Fourier (complexos)
:
Tomando a janela no intervalo
para simplificar (pulo de notação), temos
Reescrevendo em termos de sinc (usando identidades trigonométricas) obtemos a forma mais usada:
onde o fator exponencial desloca o pulso para ser centrado no meio do intervalo
— existem formas equivalentes dependendo do ponto de referência do pulso dentro do período. Em particular o coeficiente médio (
) é
que é o valor DC (média) do sinal.
A transformada de Fourier (no sentido de distribuições) do sinal periódico é então
Interpretação: o espectro é uma série de impulsos nas frequências harmônicas
, com amplitudes dadas por
. A envoltória desses impulsos é a função sinc obtida acima.
Passo 7
Resumo prático com “receita de prova” — como você aplica isso rápido na hora:
- Identifique se
é: - um único pulso retangular: então escreva
e use a integral direta para achar (esta fórmula é a do pulso de largura deslocado para o centro ); - ou uma onda quadrada periódica: identifique
e (ou duty cycle ). Escreva como soma de janelas deslocadas e calcule os coeficientes (fórmula do passo 6). Então escreva o espectro como soma de deltas.
- um único pulso retangular: então escreva
- Use sempre a regra do deslocamento: um deslocamento no tempo vira um fator
na frequência. - Lembre-se que a transformada do retângulo é uma sinc; pulso mais curto -> sinc mais largo.
- Se for pedido transformada no domínio das frequências
(Hz) em vez de , use e converta as fórmulas adequadamente; a forma com sinc em se transforma em sinc em com fatores .
Passo 8
Aplicação direta: fórmulas prontas que você pode usar substituindo os parâmetros da figura.
- Pulso único de amplitude
, largura e centrado em :
- Onda quadrada periódica de amplitude
, período e largura de pulso :
Passo 9
Observação final, encorajamento e o que fazer agora:
- Como eu disse no Passo 1, não posso dar a expressão específica de
nem calcular uma transformada numérica final porque a figura não foi enviada e faltam os parâmetros (amplitude , largura , deslocamento , período se for periódico). - Mas agora você tem a receita: identifique na figura os valores
e (ou , , ), escolha a fórmula correspondente acima e substitua; se quiser, me mande a figura ou apenas os parâmetros (por exemplo: amplitude , pulso de a etc.) que eu aplico tudo e calculo a transformada explicitamente para o seu caso. - Força aí! Dá pra fazer rápido na prova: escreva o pulso com
ou com diferenças de degrau, escolha a fórmula do passo 8 e pronto — é prática repetida, fica tranquilo.
Resposta
Não é possível determinar a expressão específica de
nem calcular sua transformada sem a figura (falta especificar se é pulso único ou periódico e os parâmetros: amplitude, largura e deslocamento).