Questão 20. A função g(t) é definida ao lado representa a chamada função onda quadrada. Essa representação é útil para descrever sistemas lineares em engenharia e análise de sinais. Expresse a função dada usando funções janela ( \Pi_{a, b}(t) ) e degrau e calcule sua transformada.

Passo 1

O enunciado diz que a função g(t) é a chamada onda quadrada (representada “ao lado”) e pede duas coisas:
  • expressar a função usando funções janela \Pi_{a,b}(t) e degrau unitário;
  • calcular a sua transformada (presumivelmente a transformada de Fourier).
Informações que o enunciado me deu explicitamente:
  • pede expressão em termos de \Pi_{a,b}(t) e degrau;
  • pede a transformada de g(t).
Informações que faltam (estas são necessárias para obter uma expressão e uma transformada numéricas/explicitamente completas):
  • não foi enviada a figura da função g(t), portanto não sei se g(t) é um único pulso retangular, um pulso deslocado, uma sequência de pulsos periódica (onda quadrada periódica) ou com que amplitude, largura e período;
  • faltam parâmetros como amplitude A, largura do pulso \tau, deslocamento t_0 e, se for periódico, período T ou ciclo de trabalho (duty cycle).
Conclusão deste passo: sem a figura (isto é, sem os valores de A, \tau, t_0, T ou a indicação se é periódica) não é possível dar a expressão específica de g(t) nem calcular a sua transformada numérica final. A seguir eu explico, passo a passo, como montar a expressão em termos de \Pi_{a,b}(t) e de degrau e como calcular a transformada em todos os casos usuais (pulso único e onda quadrada periódica). Assim, quando você tiver os parâmetros da figura basta aplicar as fórmulas que eu vou fornecer.

Passo 2

Definições e notação (coisas que vamos usar e entender direitinho).
  • Definição da função janela (retângulo) \Pi_{a,b}(t)\): por definição aqui usamos \[\Pi_{a,b}(t)= \begin{cases} 1, & \text{se } a < t < b,\\[4pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}
Essa é a janela que vale 1 entre a\] e \(b e 0 fora desse intervalo. (Se a convenção da figura usar inclusão nos extremos isso não altera a transformada praticamente.)
  • Relação com o degrau unitário u(t) (onde u(t)=1 para t\ge 0 e 0 para t<0): uma janela pode ser escrita como diferença de degraus:
\Pi_{a,b}(t)=u(t-a)-u(t-b).
Explicação rápida: u(t-a) “liga” em t=a e u(t-b) “desliga” em t=b, a diferença fica 1 no intervalo (a,b).
  • Convenção da transformada de Fourier que vou usar (engenharia, comum): para um sinal x(t)
\mathcal{F}\{x(t)\}=X(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} x(t)\,e^{-j\omega t}\,dt.
Aqui j=\sqrt{-1} e \omega é a frequência angular (rad/s). Essa escolha é importante porque muda fatores constantes; se sua prova usar outra convenção (por exemplo com 1/2\pi) adapte os fatores.]

Passo 3

Como escrever um pulso retangular genérico usando \Pi e degrau (e por que isso é útil).
  • Pulso de amplitude A que vale A no intervalo a<t<b e zero fora:
g(t)=A\,\Pi_{a,b}(t)=A\bigl[u(t-a)-u(t-b)\bigr].
Explicação: multiplicar a janela por A coloca a altura do pulso em A.
  • Pulso centrado no zero com largura \tau (forma muito usada): escolha a=-\tfrac{\tau}{2} e b=+\tfrac{\tau}{2}. Então
g(t)=A\,\Pi_{-\tau/2,\tau/2}(t).
Essa forma centrada é conveniente para aproveitar simetrias quando calculamos transformadas.

Passo 4

Transformada de Fourier de um pulso retangular (cálculo passo a passo).
Considere o pulso centrado g(t)=A\,\Pi_{-\tau/2,\tau/2}(t). Pela definição de transformada:
G(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} A\,\Pi_{-\tau/2,\tau/2}(t)\,e^{-j\omega t}\,dt = A\int_{-\tau/2}^{\tau/2} e^{-j\omega t}\,dt.
Calcule a integral:
\int_{-\tau/2}^{\tau/2} e^{-j\omega t}\,dt = \left[\frac{e^{-j\omega t}}{-j\omega}\right]_{t=-\tau/2}^{t=\tau/2} = \frac{e^{-j\omega(\tau/2)}-e^{j\omega(\tau/2)}}{-j\omega}.
Usando e^{-j\alpha}-e^{j\alpha}=-2j\sin\alpha obtemos
\int_{-\tau/2}^{\tau/2} e^{-j\omega t}\,dt = \frac{2\sin(\omega\tau/2)}{\omega}.
Portanto
G(\omega)=A\cdot\frac{2\sin(\omega\tau/2)}{\omega}.
É conveniente escrever usando a função sinc (definida aqui como \operatorname{sinc}(x)=\dfrac{\sin x}{x}), então
G(\omega)=A\tau\; \operatorname{sinc}\!\bigl(\tfrac{\omega\tau}{2}\bigr),
pois A\tau\operatorname{sinc}(\tfrac{\omega\tau}{2}) = A\tau \dfrac{\sin(\omega\tau/2)}{\omega\tau/2} = A\cdot \dfrac{2\sin(\omega\tau/2)}{\omega}. Observação: ambas as formas são equivalentes; a forma com \operatorname{sinc} mostra nitidamente a “envoltória” em frequência.
Comentário didático: a transformada do retângulo é uma função sinc no domínio das frequências. Isso significa que um pulso no tempo tem banda infinita em frequência, com lóbulo principal proporcional à largura do pulso. Pulsos mais curtos em tempo geram lóbulos mais largos em frequência (princípio tempo-frequência).

Passo 5

Efeito de deslocamento temporal (regra do deslocamento): se o pulso for deslocado para a direita por t_0, ou seja g(t)=A\,\Pi_{t_0-\tau/2,t_0+\tau/2}(t)=A\,\Pi_{-\tau/2,\tau/2}(t-t_0), então a transformada fica multiplicada por um fator exponencial complexo:
\mathcal{F}\{x(t-t_0)\}=e^{-j\omega t_0}X(\omega).
Aplicando ao nosso pulso deslocado:
G(\omega)=A\tau\; \operatorname{sinc}\!\bigl(\tfrac{\omega\tau}{2}\bigr)\,e^{-j\omega t_0}.
Explicação: o módulo da transformada não muda com deslocamento, só aparece uma fase linear e^{-j\omega t_0}.

Passo 6

Caso mais comum em “onda quadrada”: sinal periódico (sequência de pulsos, duty cycle).
Se g(t) for uma onda quadrada periódica com período T, amplitude A durante um intervalo de duração \tau em cada período (ou seja duty cycle D=\tau/T) e zero no restante, uma forma natural de escrever é somar janelas deslocadas:
g(t)=A\sum_{k=-\infty}^{\infty}\Pi_{kT,\;kT+\tau}(t).
Outra forma elegante é usar o trem de impulsos p_T(t)=\sum_{k}\delta(t-kT) e convoluir com o pulso simples:
g(t)=\bigl(A\,\Pi_{0,\tau}(t)\bigr)*p_T(t).
Transformada de um sinal periódico: a transformada de Fourier de uma função periódica é uma soma de deltas em frequências harmônicas (comb de diracs). Seja \omega_0=\dfrac{2\pi}{T}. Primeiro calcule os coeficientes de Fourier (complexos) c_m:
c_m=\frac{1}{T}\int_{0}^{T} g(t)\,e^{-j m \omega_0 t}\,dt.
Tomando a janela no intervalo [0,\tau] para simplificar (pulo de notação), temos
c_m=\frac{1}{T}\int_{0}^{\tau} A\,e^{-j m \omega_0 t}\,dt = \frac{A}{T}\cdot\frac{1-e^{-j m \omega_0 \tau}}{j m \omega_0}.
Reescrevendo em termos de sinc (usando identidades trigonométricas) obtemos a forma mais usada:
c_m = A\frac{\tau}{T}\; \operatorname{sinc}\!\bigl(\tfrac{m\omega_0\tau}{2}\bigr)\,e^{-j m \omega_0 \tau/2},
onde o fator exponencial desloca o pulso para ser centrado no meio do intervalo [0,\tau] — existem formas equivalentes dependendo do ponto de referência do pulso dentro do período. Em particular o coeficiente médio ( m=0) é
c_0 = A\frac{\tau}{T}=A D,
que é o valor DC (média) do sinal.
A transformada de Fourier (no sentido de distribuições) do sinal periódico é então
G(\omega)=2\pi\sum_{m=-\infty}^{\infty} c_m\; \delta\bigl(\omega-m\omega_0\bigr).
Interpretação: o espectro é uma série de impulsos nas frequências harmônicas \omega=m\omega_0, com amplitudes dadas por 2\pi c_m. A envoltória desses impulsos é a função sinc obtida acima.

Passo 7

Resumo prático com “receita de prova” — como você aplica isso rápido na hora:
  1. Identifique se g(t) é:
    • um único pulso retangular: então escreva g(t)=A\Pi_{a,b}(t)=A[u(t-a)-u(t-b)] e use a integral direta para achar G(\omega)=A\cdot \dfrac{2\sin(\omega(b-a)/2)}{\omega} e^{-j\omega (a+b)/2} (esta fórmula é a do pulso de largura \tau=b-a deslocado para o centro (a+b)/2);
    • ou uma onda quadrada periódica: identifique T e \tau (ou duty cycle D=\tau/T). Escreva como soma de janelas deslocadas e calcule os coeficientes c_m (fórmula do passo 6). Então escreva o espectro como soma de deltas.
  2. Use sempre a regra do deslocamento: um deslocamento no tempo vira um fator e^{-j\omega t_0} na frequência.
  3. Lembre-se que a transformada do retângulo é uma sinc; pulso mais curto -> sinc mais largo.
  4. Se for pedido transformada no domínio das frequências f (Hz) em vez de \omega, use \omega=2\pi f e converta as fórmulas adequadamente; a forma com sinc em \omega se transforma em sinc em f com fatores 2\pi.

Passo 8

Aplicação direta: fórmulas prontas que você pode usar substituindo os parâmetros da figura.
  • Pulso único de amplitude A, largura \tau=b-a e centrado em t_0=(a+b)/2:
g(t)=A\,\Pi_{a,b}(t)=A\bigl[u(t-a)-u(t-b)\bigr],
G(\omega)=A\cdot\frac{2\sin\!\bigl(\tfrac{\omega\tau}{2}\bigr)}{\omega}\,e^{-j\omega t_0} = A\tau\;\operatorname{sinc}\!\bigl(\tfrac{\omega\tau}{2}\bigr)\,e^{-j\omega t_0}.
  • Onda quadrada periódica de amplitude A, período T e largura de pulso \tau:
g(t)=A\sum_{k=-\infty}^{\infty}\Pi_{kT,\;kT+\tau}(t),
c_m = A\frac{\tau}{T}\; \operatorname{sinc}\!\bigl(\tfrac{m\omega_0\tau}{2}\bigr)\,e^{-j m \omega_0 \tau/2}, \quad \omega_0=\frac{2\pi}{T},
G(\omega)=2\pi\sum_{m=-\infty}^{\infty} c_m\; \delta\bigl(\omega-m\omega_0\bigr).

Passo 9

Observação final, encorajamento e o que fazer agora:
  • Como eu disse no Passo 1, não posso dar a expressão específica de g(t) nem calcular uma transformada numérica final porque a figura não foi enviada e faltam os parâmetros (amplitude A, largura \tau, deslocamento t_0, período T se for periódico).
  • Mas agora você tem a receita: identifique na figura os valores a e b (ou \tau, t_0, T), escolha a fórmula correspondente acima e substitua; se quiser, me mande a figura ou apenas os parâmetros (por exemplo: amplitude A=1, pulso de -1 a +1 etc.) que eu aplico tudo e calculo a transformada explicitamente para o seu caso.
  • Força aí! Dá pra fazer rápido na prova: escreva o pulso com \Pi ou com diferenças de degrau, escolha a fórmula do passo 8 e pronto — é prática repetida, fica tranquilo.

Resposta

Não é possível determinar a expressão específica de g(t) nem calcular sua transformada sem a figura (falta especificar se é pulso único ou periódico e os parâmetros: amplitude, largura e deslocamento).

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